高校数学「２次方程式」「解の範囲が限定される場合」

高校数学「２次方程式」「解の範囲が限定される場合」

■問題
２次方程式３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋ^2＝０が正の解と負の解を一つずつ持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
「正の解と負の解を一つずつもつ」ということは、まずは「異なる２つの実数解」を持つ必要があります。
さらに、解の範囲を限定するためにその他の条件を満たす必要があります。その条件とは・・・？


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは解を２つ持たないと話にならないので、Ｄ＞０を満たすｋ値を求めます。

３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋ^2＝０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃにａ＝３，ｂ＝−１２，ｃ＝１２−ｋ^2を代入して、

Ｄ＝(−１２)^2−４×３×(１２−ｋ^2)
　＝１４４−１４４＋１２ｋ^2
　＝１２ｋ^2＞０
　　　　ｋ^2＞０
よって、ｋ＝０以外の全ての実数で解を２つ持つことがわかります。

ｙ＝３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋの２次関数のグラフは、下に凸なので、正の解と負の解を一つずつもつときは、グラフが原点の下側を通ります。
原点は(０，０)なので、原点の下側はｘ＝０のときｙ＜０ですね。
だから与式にｘ＝０を代入して、

１２−ｋ^2＜０
ｋ^2−１２＞０
(ｋ＋２√３)(ｋ−２√３)＞０

よって、ｋ＜−２√３，ｋ＞２√３

これはＤ＞０の範囲に含まれるので、そのままこの問題の解となります。


ちなみに、下に凸のグラフが原点よりも下を通れば、自動的に異なる２つの実数解を持つので、このような条件の場合は、Ｄ＞０をやらなくても大丈夫です。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−