高校物理「インピーダンス」式の導き方

高校物理「交流」「ＲＬＣ直列回路」「インピーダンス」

ＲＬＣ直列回路において、Ｉ＝Ｉ0ｓｉｎωｔの交流電流が流れるとき、Ｒ，Ｌ，Ｃに加わっている交流電流の電圧の瞬間値ＶR，ＶL，ＶCはそれぞれ、

ＶR=ＲＩ0ｓｉｎωｔ，ＶL＝ωＬＩ0ｓｉｎ(ωｔ＋π／２)，ＶC＝(１／ωＣ)Ｉ0ｓｉｎ(ωｔ−π／２)

と表すことができる。

このとき、Ｖ＝ＶR＋ＶL＋ＶCであることを用いて、Ｖをひとつの項で表し、インピーダンスＺを求めよ。


インピーダンスＺはＲＬＣ回路全体において抵抗と同じはたらきです。ＶとＲがわかれば、オームの法則が使えますね！


解答解説はこのページ下に掲載します。


センター過去問




Ｖ＝ＶR＋ＶL＋ＶCと書いてあるので、そのとおりに計算してみます。

Ｖ＝ＲＩ0ｓｉｎωｔ＋ωＬＩ0ｓｉｎ(ωｔ＋π／２)＋(１／ωＣ)Ｉ0ｓｉｎ(ωｔ−π／２)

まずは三角関数の公式ｓｉｎ(θ±π／２)＝±ｃｏｓθを使って、

　＝ＲＩ0ｓｉｎωｔ＋ωＬＩ0ｃｏｓωｔ−(１／ωＣ)Ｉ0ｃｏｓωｔ

全ての項にＩ0が含まれているので、Ｉ0でくくっておきます。

　＝{Ｒｓｉｎωｔ＋ωＬｃｏｓωｔ−(１／ωＣ)ｃｏｓωｔ}Ｉ0

かっこの中身をｃｏｓωｔでくくって、

　＝{Ｒｓｉｎωｔ＋(ωＬ−１／ωＣ)ｃｏｓωｔ}Ｉ0

サインとコサインの１次式の和になったので、「三角関数の合成」をやることができます。

　＝√{Ｒ^2＋(ωＬ−１／ωＣ)^2}・Ｉ0ｓｉｎ(ωｔ＋α)[Ｖ]

これでＶを一つの項にまとめることができました。
Ｖ＝ＲＩの形になったので、ルートの部分をインピーダンスＺとして、

Ｚ＝√{Ｒ^2＋(ωＬ−１／ωＣ)^2}[Ω]


関連事項
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