【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年大学入試センター試験数学２Ｂより
第１問
[ 1 ] ａ＞０，ａ≠１として、不等式
２ｌｏｇ[a](８−ｘ)＞ｌｏｇ[a](ｘ−２) ・・・{1}
を満たすｘの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、[ア]＜ｘ＜[イ]が成り立つ。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂ
に対し、ａを底といい、ｂを真数という。
底ａがａ＜１を満たすとき、不等式{1}は
ｘ^2−[ウエ]ｘ＋[オカ][キ]０ ・・・{2}
となる。ただし、[キ]については、当てはまるものを次の{0}〜{2}のうちから
一つ選べ。
{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞
したがって、真数が正であることと{2}から、ａ＜１のとき、不等式{1}を
満たすｘのとり得る値の範囲は[ク]＜ｘ＜[ケ]である。
同様にして、ａ＞１のときには、不等式{1}を満たすｘのとり得る値の範囲
は[コ]＜ｘ＜[サ]であることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 対数と指数の関係
◆２ 対数の基本的な計算法則
◆３ 対数の係数は真数の指数
◆４ 与えられた式の真数が正
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
今回は
２ｌｏｇ[a](８−ｘ)＞ｌｏｇ[a](ｘ−２) ・・・{1}
という式について考えます。
対数の初心者には凄く難しく見えると思いますが、基本的な性質・公式の理解が
あれば、実はそれほどでもありません。
まず、底が両辺で共通なので、真数同士をそのまま比較すれば・・・と言いたい
ところですが、係数に２がついているのに注意してください。
係数がついているときはそのまま比較することはできません。
まずは◆１で紹介した公式の一番最後のやつを使って、係数がない状態にします。
ｌｏｇ[a](８−ｘ)^2＞ｌｏｇ[a](ｘ−２)
これで底も同じだし係数もなくなりました。
これなら真数同士をそのまま比較できます。
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◆４ 与えられた式の真数が正
最初の設問は、真数が正であることからｘの範囲を求める問題です。
底が正の数ならば真数も必ず正の数になります。
たとえば、２は何乗しても必ずプラスの数にしかなりません。
２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，・・・
２^0＝１，２^(-1)＝１／２，２^(-2)＝１／４，・・・
などなど。
底をいろいろな数に変えてみても、底が正の数である限り必ず真数も正の数に…
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
