高校数学「微分」「接線の方程式」

高校数学「微分」「接線の方程式」

ｙ＝ｘ^3の接線のうち、(１，０)を通るものの方程式を求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


今回の問題は、この書籍のP.29にも掲載されています。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

ｙ＝ｘ^3だから、ｙ'＝３ｘ^2

これがｙ＝ｘ^3の接線の傾きを表す式だ。というわけです。

(１，０)はこの関数上の点ではないので、接点のｘ座標をｔとおくと、接線の傾きはｙ'＝３ｔ^2、接点の座標は(ｔ，ｔ^3)となります。

あとはこれらの情報を直線の式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−ｔ^3＝(３ｔ^2)(ｘ−ｔ)

この点が(１，０)を通るので、ｘ，ｙに代入して、

０−ｔ^3＝(３ｔ^2)(１−ｔ)
−ｔ^3＝３ｔ^2−３ｔ^3
２ｔ^3−３ｔ^2＝０
ｔ^2(２ｔ−３)＝０
よって、ｔ＝０，３／２

ｔ＝０のとき、
ｙ−０＝０×(ｘ−０)
　　ｙ＝０

ｔ＝３／２のとき
ｙ−(３／２)^3＝{３(３／２)^2}(ｘ−３／２)
ｙ−２７／８＝(２７／４)(ｘ−３／２)
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−８１／８＋２７／８
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−５４／８
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−２７／４


関連問題
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2−２上の点(−１，−２)における接線の方程式

微分積分(数学２)まとめ


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