【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2018年大学入試センター試験数学２Ｂより
第２問
座標平面上で曲線ｙ＝ｘ^3をＣとし、放物線ｙ＝ｘ^2＋ｐｘ＋ｑをＤとする。
(1) 曲線Ｃ上の点Ｐ(ａ，ａ^3)におけるＣの接線の方程式は
ｙ＝３ａ^[ア]・ｘ－[イ]ａ^[ウ]
である。放物線Ｄは点Ｐを通り、ＤのＰにおける接線と、ＣのＰにおける接線
が一致するとする。このとき、ｐとｑをａを用いて表すと
{ｐ＝３ａ^[エ]－[オ]ａ
{ｑ＝[カキ]ａ^3＋ａ^[ク] ・・・{1}
となる。
以下、ｐ，ｑは{1}を満たすとする。
(2) 放物線Ｄがｙ軸上の与えられた点Ｑ(０，ｂ)を通るとき
ｂ＝[ケコ]ａ^3＋ａ^[サ] ・・・{2}
が成り立つ。与えられたｂに対して、{2}を満たすａの値の個数を調べよう。
そのために、関数
ｆ(x)＝[ケコ]ｘ^3＋ｘ^[サ]
の増減を調べる。関数ｆ(x)は、ｘ＝[シ]で極小値[ス]をとり、ｘ＝[セ]／[ソ]
で極大値[タ]／[チツ]をとる。
関数ｙ＝ｆ(x)のグラフをかくことにより、[ス]＜ｂ＜[タ]／[チツ]のとき、
{2}を満たすａの値の個数は[テ]であることがわかる。
(3) 放物線Ｄの頂点がｘ軸上にあるのは、ａ＝[ト]，[ナ]／[ニ]の二つの場合
である。ａ＝[ト]のときの放物線をＤ1，ａ＝[ナ]／[ニ]のときの放物線をＤ2
とする。Ｄ1，Ｄ2とｘ軸で囲まれた図形の面積は２^[ヌ]／３^[ネノ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ１ ===============================
茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室
「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。
１クラス４人までの少人数で、経験豊富なプロ講師の授業が受けられます。
女性講師も指定可能です。対象は小学生～高校生・浪人生。
１回の授業では、基本的に英語または数学の１教科を集中的に指導します。
１：１の授業をご希望の方への特別コースもご用意しています。
東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
同時募集しています。
勉強と卓球両方やる生徒さんには優待もあります！
興味をお持ちの方は、まずは mm@a-ema.com までお問い合わせください。
家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値が０
◆３ 積分は微分の逆で、面積
◆４ 接線なので微分
◆５ 一致するなら係数が同じ
(以下略)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
=========================== お知らせ２ ===============================
ブログにて様々な問題を解説しています！
■ センター数学を理由の理由まで解説するブログ
http://centermath.seesaa.net/
■ センター英語をひとつひとつ解説するブログ
http://a-emaenglish.seesaa.net/
■ 何でも解説するブログ(塾＆家庭教師ブログ)
http://a-ema.seesaa.net/
紙の書籍、電子書籍もご利用ください。
中学・高校の英語・数学の書籍を出版しています。
★江間淳(えまあつし)の書籍一覧 → http://amzn.to/2lnKZdS
------------------------------------------------------------------------
■ 解説
◆１～３は省略します。
◆４ 接線なので微分
今回はまず接線について問われています。
ということは・・・微分ですね！
曲線Ｃの接線について調べたいなら、曲線Ｃを微分します。
ｙ＝ｘ^3
ｙ'＝３ｘ^2
曲線Ｃ上の点Ｐ(ａ，ａ^3)なので、今作ったｙ'の式にｘ＝ａを代入すると、
点Ｐにおける接線の傾きがわかります。
ｙ'＝３ａ^2
これが傾きを表す式です。
３次関数などの曲線の関数では、グラフ上の場所によって、接線の傾きが変化
します。その変化の仕方を表したのがｙ'の式なのです。
直線の式は★ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1)なので、これにＰの座標とｙ'＝ｍ＝３ａ^2
を代入すると、
ｙ－ａ^3＝３ａ^2・(ｘ－ａ)
ｙ＝３ａ^2・ｘ－３ａ^2・ａ＋ａ^3
ｙ＝３ａ^2・ｘ－２ａ^3
ａは定数と考えるので、これはｘとｙについての１次関数です。
つまり、これが求める「ＣのＰにおける接線」の式ですね！
よって、[ア]＝２，[イ]＝２，[ウ]＝３
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆５ 一致するなら係数が同じ
そして、次は「放物線Ｄは点Ｐを通り、ＤのＰにおける接線と、ＣのＰにおける
接線が一致する」とあります。
ＣのＰにおける接線は、今◆４で求めたので、ＤのＰにおける接線を表して、
比較すればＯＫというわけですね！
やってみましょう！
微分すると、接線の傾きがわかります。
(以下略)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
数学１Ａ２Ｂ本試験の全問題を詳細に解説。\540/月。初月無料。火・金配信。
電子書籍版はこちら →→ http://amzn.to/2oZjEzX
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
発行者 江間淳(EMA Atsushi)
mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
------------------------------------------------------------------------
無断転載・引用を禁じます。
=========================== お知らせ３ ===============================
５万人以上の利用実績がある勉強アプリ。英語・数学・化学など。
★印のものはGooglePlayでも公開中です。「江間淳」で検索してみてくださいね！
★【高校数学】読むだけでわかる！数学１Ａの考え方
http://pmana.jp/pc/pm586.html
【高校数学】読むだけでわかる！数学２Ｂの考え方
http://pmana.jp/pc/pm743.html
【高校数学】読むだけでわかる！数学３の考え方
http://pmana.jp/pc/pm730.html
★【高校英語】センター試験徹底トレーニング
http://pmana.jp/pc/pm588.html
★【高校化学】読むだけでわかる！理論・無機・有機化学の考え方
http://pmana.jp/pc/pm603.html
【高校物理】読むだけでわかる！物理基礎・物理の考え方
http://pmana.jp/pc/pm729.html
【中学５科】高校入試の重要ポイント
http://pmana.jp/pc/pm707.html
ラベル：数学
