高校数学「空間のベクトル」「平行条件」

高校数学「空間のベクトル」「平行条件」

３点Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)，Ｃ(ａ，ｂ，５)について、 Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあるようにａ，ｂの値を定めよ。


空間の場合は、図で表すのも難しいので、ベクトルの平行条件を考えるとよいと思います。







ベクトルの平行条件は空間でも平面と同様に、

ｋ・→ａ＝→ｂ

です。
要するに、「片方のベクトルを何倍かしたら、もう片方のベクトルと一致する」です。

３点が一直線上にあるならば、その３点を使って作った２つのベクトルは平行になり、平行ならば当然平行条件を満たす。というわけです。

まずは与えられた３点を用いて、２つのベクトルを作ってみましょう！(→ＡＢの求め方)
３点Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)，Ｃ(ａ，ｂ，５)
　→ＡＢ
＝(３−２，２＋１，１−３)
＝(１，３，−２)

　→ＡＣ
＝(ａ−２，ｂ＋１，５−３)
＝(ａ−２，ｂ＋１，２)

これらが平行なので、

ｋ・→ＡＢ＝→ＡＣ
ｋ(１，３，−２)＝(ａ−２，ｂ＋１，２)
(ｋ，３ｋ，−２ｋ)＝(ａ−２，ｂ＋１，２)

このイコールが成り立つためには、ｘ成分、ｙ成分，ｚ成分がそれぞれ等しいので、

ｋ＝ａ−２，３ｋ＝ｂ＋１，−２ｋ＝２

という式ができます。これらを連立して解けば、ａ，ｂがわかって、解決！ですね。

−２ｋ＝２
　　ｋ＝−１

−１＝ａ−２
−ａ＝−２＋１
−ａ＝−１
　ａ＝１

−３＝ｂ＋１
−ｂ＝１＋３
−ｂ＝４
　ｂ＝−４

ということで、求めるａ，ｂの値は、

ａ＝１，ｂ＝−４


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−