◆問題
ａn+1＝３ａn－２，ａ1＝２で表される数列の一般項を求めよ。
この数列は要するに、次の項にいくたびに３を掛けてから２を引きます。
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◆解答解説
ａn+1＝３ａn－２
次の項にいく度に「３倍して２を引く」ということは、等比数列の性質もあり、等差数列の性質もある。ということができます。
このように複合した性質を持つ場合は、そのままでは公式が適用できないので、まずは変形することを考えます。
この等差数列と等比数列の複合の場合は、
ａn+1－α＝ｐ(ａn－α)
の形にします。
こうすれば、ａn－α＝ｂnとおいて、ｂnは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。
まずはこのαとｐを求めるために、ａn+1－α＝ｐ(ａn－α)を変形します。
ａn+1－α＝ｐ(ａn－α)
ａn+1＝ｐ・ａn－ｐα＋α
単に展開して移項しただけです。
これで与式と同じになりました。
ａn+1＝３ａn－２と比較すると、
ｐ＝３，－ｐα＋α＝－２
Ｐ＝３を－ｐα＋α＝－２に代入して、
－３α＋α＝－２
－２α＝－２
α＝１
よって、与式はａn+1－１＝３(ａn－１)と変形できます。
括弧の中身つまり、ａn－１＝ｂnとおけば、さらに
ｂn+1＝３ｂn
となります。
これは「次の項に行く度に３を掛ける」ので、公比が３の等比数列です。
初項はａn－１＝ｂnより、ａ1－１＝ｂ1だから、ｂ1＝２－１＝１です。
よって、ｂnは初項が１，公比が３の等比数列なので、
ｂn＝１・３n-1
＝３n-1
ここでもう一度ａn－１＝ｂnを使います。
ａn－１＝３n-1
ａn＝３n-1＋１
これで完成です！
◆関連項目
漸化式の基本的な方法
数列まとめ
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