2019年12月11日

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」A

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」A「三角関数の合成」

三角方程式2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3を解け。ただし、0≦x<2πとする。


前回の記事では、2倍角の公式を使って、式を変形しました。
その続きです。


解答解説はこのページ下


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前回の記事で、与式は

√3(cos2x+1)−sin2x=√3

と変形できることがわかりました。
この状態ではまだサインとコサイン両方があって計算しにくいので、どちらか片方に統一することを考えます。

サインもコサインも1次式なので・・・

三角関数の合成をすることができますね!

asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)・sin(θ+α)

このように変形するやつです。
この公式を使うために、asinθ+bcosθの形にしてみましょう!

 √3(cos2x+1)−sin2x=√3
√3・cos2x+√3−sin2x=√3
 −sin2x+√3・cos2x=0  ←√3を相殺した

これでasinθ+bcosθの形になりました。
a=−1,b=√3なので、α=(2/3)πです。よって、

√(1+3)・sin{2x+(2/3)π}=0
     sin{2x+(2/3)π}=0

サインの値がゼロになるのは、0°,180°ですね。

また、0≦x<2πより、(2/3)π≦2x+(2/3)π<(14/3)πです。

ということは、2x+(2/3)πは、π,2π,3π,4πの4通りあります。
それぞれ解いてみると、

2x+(2/3)π=πよりx=π/6
2x+(2/3)π=2πよりx=(2/3)π
2x+(2/3)π=3πよりx=(7/6)π
2x+(2/3)π=4πよりx=(5/3)π

つまり、x=π/6,(2/3)π,(7/6)π,(5/3)π


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ラベル:数学
posted by えま at 00:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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