三角方程式２√３(ｃｏｓｘ)^2－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝√３を解け。ただし、０≦ｘ＜２πとする。
前回の記事では、２倍角の公式を使って、式を変形しました。
その続きです。
解答解説はこのページ下
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
前回の記事で、与式は
√３(ｃｏｓ２ｘ＋１)－ｓｉｎ２ｘ＝√３
と変形できることがわかりました。
この状態ではまだサインとコサイン両方があって計算しにくいので、どちらか片方に統一することを考えます。
サインもコサインも１次式なので・・・
三角関数の合成をすることができますね！
ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝√(ａ^2＋ｂ^2)・ｓｉｎ(θ＋α)
このように変形するやつです。
この公式を使うために、ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形にしてみましょう！
√３(ｃｏｓ２ｘ＋１)－ｓｉｎ２ｘ＝√３
√３・ｃｏｓ２ｘ＋√３－ｓｉｎ２ｘ＝√３
－ｓｉｎ２ｘ＋√３・ｃｏｓ２ｘ＝０ ←√３を相殺した
これでａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形になりました。
ａ＝－１，ｂ＝√３なので、α＝(２／３)πです。よって、
√(１＋３)・ｓｉｎ{２ｘ＋(２／３)π}＝０
ｓｉｎ{２ｘ＋(２／３)π}＝０
サインの値がゼロになるのは、０°，１８０°ですね。
また、０≦ｘ＜２πより、(２／３)π≦２ｘ＋(２／３)π＜(１４／３)πです。
ということは、２ｘ＋(２／３)πは、π，２π，３π，４πの４通りあります。
それぞれ解いてみると、
２ｘ＋(２／３)π＝πよりｘ＝π／６
２ｘ＋(２／３)π＝２πよりｘ＝(２／３)π
２ｘ＋(２／３)π＝３πよりｘ＝(７／６)π
２ｘ＋(２／３)π＝４πよりｘ＝(５／３)π
つまり、ｘ＝π／６，(２／３)π，(７／６)π，(５／３)π
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ラベル：数学
