I hope (to stay / staying) here forever.
不定詞か動名詞の適切な方を選ぶ問題です。
この書籍も参考にしてください。
不定詞の名詞的用法(to do)と動名詞(doing)はどちらも「～すること」と訳することができます。
和訳は同じになりますが、基本的には次のような違いがあります。
不定詞は、「これから先のこと」
動名詞は、「今までに終わっていること」
簡単に言えば、「不定詞は未来」「動名詞は現在や過去」と考えてだいたい大丈夫です。
今回の問題は「私はここに永遠に滞在したい」という意味で、hopeという動詞はこれから先のことを願うときに使うので、
I hope to stay here forever.
とするのが正解と考えられます。
次の問題→finishの場合
不定詞の名詞的用法の説明
動名詞の説明
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