関数ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2－ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６について、次の問いに答えよ。
(1) ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとして、与式をｔで表せ。
(2) １≦ｘ≦８のとき、ｙの最大値・最小値を求めよ。
１≦ｘ≦８のとき、ｔの範囲がどうなるかに気をつけて、普通に最大最小をやればＯＫです。
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
(1)から、ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとすると、ｙ＝ｔ^2－４ｔ＋６であることがわかっています。
この関数の最大最小を求めたい。という問題です。
ｙ＝ｔ^2－４ｔ＋６は、ｔの２次関数になっているので、２次関数の最大最小を普通にやればＯＫ！というわけです。
すなわち、まずは平方完成ですね！
ｙ＝ｔ^2－４ｔ＋６
＝(ｔ－２)^2－４＋６
＝(ｔ－２)^2＋２
よって、ｔ＝２のときｙ＝２が頂点です。
１≦ｘ≦８なので、０≦ｌｏｇ[2]ｘ≦３すなわち０≦ｔ≦３です。
ｔ＝２はこの範囲に入っていて、ｔ^2の係数はプラスなので、下に凸の放物線だから、頂点が最小値です。
さらに、ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘより、ｌｏｇ[2]ｘ＝２すなわち、ｘ＝４のとき最小値２
定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値なので、ｔ＝０すなわち、ｘ＝１のとき、最大値６
となります。
前の問題→ｌｏｇ[2]ｘをｔで表す
指数・対数まとめ
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ラベル：数学
