■ 問題
対数方程式ｌｏｇ[2](ｘ＋３)＋ｌｏｇ[2]ｘ＝２を解け。
■ 選択肢
この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか？
①左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2](ｘ＋３＋ｘ)＝２よりｌｏｇ[2](２ｘ＋３)とする
②左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2]{(ｘ＋３)ｘ}よりｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)とする
③ｌｏｇは無視して、２(ｘ＋３)＋２ｘ＝２とする
④とりあえず両辺を２乗する
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
■ 選択肢の解答
②左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2]{(ｘ＋３)ｘ}よりｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)とする
ｌｏｇ[a]ｂ＋ｌｏｇ[a]ｃ＝ｌｏｇ[a]ｂｃ
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」です。
■ 解答解説
方程式を解くときは、まずはじめに、できるだけ簡単な形にするのが大原則です。
対数は２個以上あると、指数と対数の関係式ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂを使うのが難しいので、できるだけ１個にすることを考えます。
そのために、ｌｏｇ[a]ｂ＋ｌｏｇ[a]ｃ＝ｌｏｇ[a]ｂｃが使える。というわけです。
ｌｏｇ[2](ｘ＋３)＋ｌｏｇ[2]ｘ＝２
ｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)＝２
ここで、指数と対数の関係より、ｘ^2＋３ｘ＝２^2です。あとはこれを解いて、
ｘ^2＋３ｘ＝４
ｘ^2＋３ｘ－４＝０
(ｘ＋４)(ｘ－１)＝０
よって、ｘ＝－４，１
ここで注意が必要です。
対数方程式の場合、「真数条件」を考えなければいけない場合があります。
「真数条件」とは、「底が正の数ならば真数も正の数」ということです。
「底が２ならば、２を何乗してもマイナスにはならない」ですよね？２乗したら４，３乗したら８，－１乗は１／２，－２乗は１／４などなど。
今回の問題では、与式の真数は、ｘ＋３とｘなので、これらがともに正の数でなければいけません。
つまり、ｘ＋３＞０，ｘ＞０です。これらの共通範囲はｘ＞－３なので、ｘ＝－４，１のうちｘ＝－４は不適です。
よって、この方程式の解はｘ＝１ですね！
ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３は、２^3＝ｘ＋１と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばＯＫです。
２^3＝ｘ＋１
８＝ｘ＋１
ｘ＝８－１
ｘ＝７
次の問題→対数の２次方程式
前の問題→ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３
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ラベル：数学
