高校数学「対数方程式」�D

高校数学「対数方程式」�D

■　問題

対数方程式(ｌｏｇ[9]ｘ)^2−２ｌｏｇ[3]ｘ＋４＝０を解け。


■　選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか？

�@ｌｏｇ[3]ｘ＝ｔとおく
�A４を右辺に移項する
�B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
�C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�C底の変換公式を使う

前回の問題と同じなので、まず最初に対数をｔで置いて・・・といきたいところですが、そのままでは全てをｔで表すことができません。今回は底が異なっています。その場合は、底を統一する必要があります。
底を統一するには、「底の変換公式」を使います。ｌｏｇ[a]ｂ＝(ｌｏｇ[c]ｂ)／(ｌｏｇ[c]ａ)ですね。
分数の通分と似たイメージで、このｃの値は分子と分母で等しければ何にしてもＯＫです。普通は２か３にするとうまくいきます。


■　解答解説

底の変換公式を使うと、

ｌｏｇ[9]ｘ＝(ｌｏｇ[3]ｘ)／(ｌｏｇ[3]９)＝(ｌｏｇ[3]ｘ)／２

なので、与式は、

{(ｌｏｇ[3]ｘ)／２}^2−２ｌｏｇ[3]ｘ＋４＝０

と書き換えることができます。ここからは前回の問題とだいたい同じです。
ｌｏｇ[3]ｘ＝ｔとおくと、

　(ｔ／２)^2−２ｔ＋４＝０
(１／４)ｔ^2−２ｔ＋４＝０
　　ｔ^2−８ｔ＋１６＝０
　　　　　　(ｔ−４)^2＝０
よって、ｔ＝４

ｌｏｇ[3]ｘ＝ｔより、ｌｏｇ[3]ｘ＝４すなわち、ｘ＝３^4＝８１

ということで、求めるｘの値は８１ですね。


前の問題→対数の２次方程式


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