高校数学「対数方程式」�D

高校数学「対数方程式」�D

■　問題

対数方程式(ｌｏｇ₉ｘ)²−２ｌｏｇ₃ｘ＋４＝０を解け。


■　選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか？

�@ｌｏｇ₃ｘ＝ｔとおく
�A４を右辺に移項する
�B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
�C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�C底の変換公式を使う

前回の問題と同じなので、まず最初に対数をｔで置いて・・・といきたいところですが、そのままでは全てをｔで表すことができません。今回は底が異なっています。その場合は、底を統一する必要があります。
底を統一するには、「底の変換公式」を使います。ｌｏｇ_aｂ＝(ｌｏｇ_cｂ)／(ｌｏｇ_cａ)ですね。
分数の通分と似たイメージで、このｃの値は分子と分母で等しければ何にしてもＯＫです。普通は２か３にするとうまくいきます。


■　解答解説

底の変換公式を使うと、

ｌｏｇ₉ｘ＝(ｌｏｇ₃ｘ)／(ｌｏｇ₃９)＝(ｌｏｇ₃ｘ)／２

なので、与式は、

{(ｌｏｇ₃ｘ)／２}²−２ｌｏｇ₃ｘ＋４＝０

と書き換えることができます。ここからは前回の問題とだいたい同じです。
ｌｏｇ₃ｘ＝ｔとおくと、

　(ｔ／２)²−２ｔ＋４＝０
(１／４)ｔ²−２ｔ＋４＝０
　　ｔ²−８ｔ＋１６＝０
　　　　　　(ｔ−４)²＝０
よって、ｔ＝４

ｌｏｇ₃ｘ＝ｔより、ｌｏｇ₃ｘ＝４すなわち、ｘ＝３⁴＝８１

ということで、求めるｘの値は８１ですね。


前の問題→対数の２次方程式


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