高校数学「微分」「３次関数」�A

高校数学「微分」「３次関数」�A

■　問題

ｆ(ｘ)＝ｘ^3−３ａ^2・ｘについて次の問いに答えよ。ただし、ａ＞０とする。
(1) ｆ'(ｘ)を求めよ。
(2) 極大値、極小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　解答解説

前回の解説で、ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2−３ａ^2であることを求めました。

今回は極値を求めます。

極値はその周辺で一番大きいまたは一番小さいところのことです。
つまり、グラフを描いたら、山や谷になっているところの先端が極値です。

極値では、増加と減少が切り替わるので、接線の傾きすなわちｆ'(ｘ)がゼロになります。

ということで、ｆ'(ｘ)＝０で解いてみましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2−３ａ^2＝０

ｘについての２次方程式とみることができるので、式を簡単にして因数分解を試みます。

３ｘ^2−３ａ^2＝０
　　ｘ^2−ａ^2＝０
(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝０
よって、ｘ＝−ａ，ａ

ｆ(−ａ)＝(−ａ)^3−３ａ^2・(−ａ)
　　　＝−ａ^3＋３ａ^3
　　　＝２ａ^3

ｆ(ａ)＝ａ^3−３ａ^2・ａ
　　＝ａ^3−３ａ^3
　　＝−２ａ^3

よって、ｘ＝−ａのとき極大値２ａ^3，ｘ＝ａのとき極小値２ａ^3


関連問題
「１０秒でわかる高校数学」≪数学２Ｂ「微分積分」P.41 ３次関数の最大最小≫


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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