■ 問題
ｙ＝ｘ^2＋ｘ−４とｙ＝３ｘ−１で囲まれた図形の面積求めよ。
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
■ 解答解説
曲線が境界線となっている図形の面積を求めるときは、積分を使うと計算しやすい場合が多いです。
基本的に、「上引く下で定積分」です。
今回の問題では、２次関数は下に凸なので、囲まれた部分については、直線が上、放物線が下ですね。
そして求める図形は、これらの線で囲まれた部分なので、積分の区間は２つの交点の間となります。
ということで、まずは交点を出してみましょう！
交点は、２つの関数の式の連立方程式ですね。
ｘ^2＋ｘ−４＝３ｘ−１
ｘ^2−２ｘ−３＝０
(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−１，３
−１から３の区間で「直線−放物線」の式を定積分します。
∫[-1〜3]{３ｘ−１−(ｘ^2＋ｘ−４)}ｄｘ
＝∫[-1〜3](３ｘ−１−ｘ^2−ｘ＋４)ｄｘ
＝∫[-1〜3](−ｘ^2＋２ｘ＋３)ｄｘ
＝[−(１／３)ｘ^3＋ｘ^2＋３ｘ][-1〜3]
＝−(１／３)３^3＋３^2＋３・３−{−(１／３)(−１)^3＋(−１)^2＋３(−１)}
＝−９＋９＋９−(１／３＋１−３)
＝１１−１／３
＝３２／３
関連項目
定積分と面積
こちらの書籍も参考にしてみてください。
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ラベル：数学
