高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�A

高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�A

■　問題

数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnと一般項ａnの関係式がａn＝２Ｓn＋２ｎ−３で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1を求めよ。

このページでは、次の問題について解説します。

(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。


■　選択肢

このときまず最初にｎにｎ＋１を代入すると、ａn+1＝２Ｓn+1＋２(ｎ＋１)−３となります。
このあとはどうすればはいいでしょうか？(複数選択)

�@両辺から１をひく
�AＳn+1＝Ｓn＋ａn+1と置き換える
�Bａn+1の式とａnの式を差し引く
�C野となれ山となれ


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�AＳn+1＝Ｓn＋ａn+1と置き換える
�Bａn+1の式とａnの式を差し引く

「ａn+1とａnの関係式を求める」ということは、つまり「Ｓnを消去する」と考えます。


■　解答解説

ａn+1とａnの関係式を求めるので、何はともあれａn+1が登場しないことには始まりません。
まずは与式にｎ＝ｎ＋１を代入してみます。

ａn+1＝２Ｓn+1＋２(ｎ＋１)−３

問題の指示に合わせるためには、Ｓn+1(やＳn)を消去する必要があります。
Ｓn+1は「数列ａnの初項からｎ＋１項目までの和」なので、

Ｓn+1＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn＋ａn+1

ですね。
Ｓnも同様に考えると、Ｓn＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａnなので、

Ｓn+1＝Ｓn＋ａn+1

ということができます。(選択肢�A)
これを用いて置き換えれば、

ａn+1＝２(Ｓn＋ａn+1)＋２(ｎ＋１)−３
ａn+1＝２Ｓn＋２ａn+1＋２(ｎ＋１)−３

とすることができます。
これから与式ａnを差し引けば、うまいことＳnが消えますね！(選択肢�B)

　　ａn+1＝２Ｓn＋２ａn+1＋２(ｎ＋１)−３
−）　ａn＝２Ｓn＋　　　　　　２ｎ　−３
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ａn+1−ａn＝２ａn+1＋２

あとは移項して整理すれば、ａn+1とａnの関係式が得られます。

ａn+1−２ａn+1＝ａn＋２
　　　−ａn+1＝ａn＋２
　　　　ａn+1＝−ａn−２


次の問題→ａnの一般項

前の問題→(1) ａ1を求めよ。


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