高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�B

高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�B

■　問題

数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnと一般項ａnの関係式がａn＝２Ｓn＋２ｎ−３で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1を求めよ。
(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。

このページでは、次の問題について解説します。

ａnを求めよ。


■　選択肢

(1)でａ1＝１，(2)でａn+1＝−ａn−２がわかっているとき、ここからどうすればいいでしょうか？


�@この漸化式は等差数列なので、等差数列の一般項の公式を使う
�Aこの漸化式は等比数列なので、等比数列の一般項の公式を使う
�Bこの漸化式は群数列なので、群数列の一般項の公式を使う
�Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にする


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にする

ａn+1＝−ａn−２は、ｎ項目からｎ＋１項目にいくときに、−１をかけて２を引くので、一度に等比と等差両方の操作をします。これを解決するには、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にするのがノーマルな解き方です。


■　解答解説

このタイプの漸化式の問題を解くときは、いくつかの方法が可能ですが、個人的にはａn+1−α＝ｐ(ａn−α)を与式と同じ形に変形することをおすすめしています。

ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)
　ａn+1＝ｐ・ａn−ｐα＋α

この式と、ａn+1＝−ａn−２を比較すると、

ｐ＝−１，−ｐα＋α＝−２

が得られます。これらを連立して解くと、

−(−１)α＋α＝−２
　　　　２α＝−２
　　　　　α＝−１

よって、ａn+1−(−１)＝−１{ａn−(−１)}すなわちａn+1＋１＝−(ａn＋１)が得られます。

ここでａn＋１＝ｂnとおくと、ａn+1＋１＝ｂn+1なので、ａn+1＋１＝−(ａn＋１)に左右それぞれ置き換えると、

ｂn+1＝−ｂn

となります。
これは「次の項にいくたびに−１を掛ける」ことを意味するので、ｂnは公比が−１の等比数列です。

ａn＋１＝ｂnより、ｎ＝１のときａ1＋１＝ｂ1だから、ｂ1＝１＋１＝２です。

つまりｂnは、初項２，公比−１の等比数列です。等比数列の一般項の公式に代入すると、

ｂn＝２・(−１)^(n-1)

ａn＋１＝ｂnより、ａn＝ｂn−１だから、

ａn＝２・(−１)^(n-1)−１

となります。


前の問題→(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。

最初に戻る→(1) ａ1を求めよ。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−