■ 問題
△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ，辺ＢＣの中点をＭとし、線分ＤＣと線分ＡＭの交点をＥとする。→ＡＢ＝→ｂ，→ＡＣ＝→ｃとするとき、→ＡＥを→ｂ，→ｃを用いて表せ。
■ 選択肢
このとき普通は何をすればいいでしょうか？(複数選択)
①ＥはＡＭ上にあるので、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭとおく
②ＥはＣＤをｔ：１－ｔに内分すると考えて、ＣＥ：ＥＤ＝ｔ：１－ｔとおく
③ＥはＣＤの真ん中なので、→ＡＥ＝(→ＡＤ＋→ＡＣ)／２とする
④→ＡＥを２通りの方法で表して、イコールで結ぶ
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解法の習得に役立つ問題集です。
■ 選択肢の解答
①ＥはＡＭ上にあるので、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭとおく
②ＥはＣＤをｔ：１－ｔに内分すると考えて、ＣＥ：ＥＤ＝ｔ：１－ｔとおく
④→ＡＥを２通りの方法で表して、イコールで結ぶ
三角形の頂点から対辺に直線を引き、交点を考える場合は、このように考えると解けることが多いです。
■ 解答解説
まずは、点ＥはＡＭ上にあることから、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭと表すことができます。(選択肢①)
さらに、点ＭはＢＣの中点なので、中点の公式(１：１に内分する場合)より、→ＡＭ＝(→ｂ＋→ｃ)／２と表すことができます。
これらを組み合わせると、
→ＡＥ＝ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２
次に、点ＥはＣＤ上にあることから、ＣＤをｔ：１－ｔに内分すると考えて、内分の式を作ります。(選択肢②)
→ＡＥ＝{(１－ｔ)・→ＡＣ＋ｔ・→ＡＤ}／(ｔ＋１－ｔ)
ＤはＡＢを１：２に内分するので、→ＡＤ＝(２／３)・→ＡＢ＝(２／３)・→ｂとして、整理すると、
→ＡＥ＝(１－ｔ)・→ｃ＋(２／３)ｔ・→ｂ
→ＡＥを２通りの方法で表しました。同じベクトルなので、イコールで結ぶことができます。(選択肢④)
ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２＝(１－ｔ)・→ｃ＋(２／３)ｔ・→ｂ
(ｋ／２)・→ｂ＋(ｋ／２)・→ｃ＝(２／３)ｔ・→ｂ＋(１－ｔ)・→ｃ
両辺の係数を比較すると、
ｋ／２＝(２／３)ｔ，ｋ／２＝１－ｔ
よって、(２／３)ｔ＝１－ｔより、ｔ＝３／５
ｔ＝３／５を代入して、ｋ／２＝(２／３)・(３／５)より、ｋ＝４／５が得られます。
→ＡＥ＝ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２にｋ＝４／５を代入して、
→ＡＥ＝(４／５)(→ｂ＋→ｃ)／２
＝(２／５)・→ｂ＋(２／５)・→ｃ
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