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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2019年センター試験数1Aより
第4問
(1) 不定方程式
49x−23y=1
の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは
x=[ア],y=[イウ]
であり、すべての整数解は、kを整数として
x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]
と表せる。
(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは
(A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])
である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは
(A,B)=(49×[サ],23×[シス])
である。
(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。
aとa+1の最大公約数は1
a+1とa+2の最大公約数は1
aとa+2の最大公約数は1または[セ]
である。
また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。
条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。
(4) 6762を素因数分解すると
6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]
である。
bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
◆3 yが自然数になる場合を探して
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
では今回の問題です。
今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。
「49x−23y=1の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のもの」
を聞いていますね。
このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です!(笑)
もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。
それは
「x,yの係数で大きいのはxの49なので、xに1から順に数字を入れて
そのときのyの値を求めてみる」
という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。
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◆3 yが自然数になる場合を探して
では実際にやってみましょう!
x=1のとき
49−23y=1
−23y=−48
y=48/23
問題の設定により、x,yは自然数なので、yの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、x=1のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・
つづく
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ラベル:数学