この記事では、部分積分法の式の導き方を解説します。
部分積分法の式は、積の微分法から導くことができます。
まず積の微分法は
{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'＝ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)
ですね。
ここからｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)を移項すると、
{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'－ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)
さらに両辺を入れ替えれば
ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)＝{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'－ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)
こんな式が得られます。
ここまでは、積の微分法の式を移項しただけです。
そして、この式の両辺を積分してみると、部分積分法の式になってしまいます。
∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝∫{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'ｄｘ－∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘ
微分したものを積分するともとに戻るので、
∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)－∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘ
これで、教科書等に載っている部分積分法の公式になりました。
関連項目→積の微分法
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ラベル：数学
