■ 問題
ｌｉｍ[x→0]{(ｓｉｎ３ｘ)／ｘ}の極限を調べよ。
サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。
解答解説はこのページ下です。
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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方
■ 解答解説
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１が使えるようにするためには、変数ｘの部分を分子と分母で同じにしなければいけません。
つまり、
ｘに２ｘを代入すれば、
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ２ｘ／２ｘ)＝１
ということができるし、３ｘにすれば
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)＝１
ですね。
こうなれば公式が使えるので、こうすればいい。というわけです。
もちろん勝手に数字を書き換えるのではなく、計算法則に則ってこの形にします。
今回の問題はｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／ｘ)だから、分母を３ｘにすることを考えます。
分母を３ｘにして、式の値が変わらないようにするには、「３／３を掛ける」と良いですね。
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／ｘ)
＝ｌｉｍ[x→0]{(３ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)
＝ｌｉｍ[x→0]３(ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)
＝３
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)＝１だから、最後、極限の部分が丸ごと１に変わりました。
よって、この式の極限値は３です。
◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)
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