高校数学「三角関数の合成」

高校数学「三角関数の合成」

三角関数の合成は、サインとコサインがともに１次式の場合に一つにまとめることができる方法です。

公式としては次のようになります。

★　ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)

これは、サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整したものだと理解することができます。


サインの加法定理は

★　ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ

で、α＝ｘ，β＝αと置き換えれば、

ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘｃｏｓα＋ｃｏｓｘｓｉｎα

となります。
ここで、動径がαのときの直角三角形の横をａ，縦をｂとすれば、三平方の定理により、斜辺は√(ａ^2＋ｂ^2)なので、

ｃｏｓα＝ａ／√(ａ^2＋ｂ^2)，ｓｉｎα＝ｂ／(√ａ^2＋ｂ^2)

となります。

これらの値をｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘｃｏｓα＋ｃｏｓｘｓｉｎαに代入すると、

ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘ・{ａ／√(ａ^2＋ｂ^2)}＋ｃｏｓ・{ｂ／(√ａ^2＋ｂ^2)}

この式の両辺を√(ａ^2＋ｂ^2)倍すれば、

{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ

両辺を入れ替えると、

ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)

これで三角関数の合成の公式が導けました！

慣れれば導かなくても確実にわかると思いますが、万が一のため、計算練習のため
数学的な考え方の練習のため、導けるようにしておくと良いですよ！


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


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