2020年02月14日

高校数学「三角関数の合成」

高校数学「三角関数の合成」

三角関数の合成は、サインとコサインがともに1次式の場合に一つにまとめることができる方法です。

公式としては次のようになります。

★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

これは、サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整したものだと理解することができます。


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サインの加法定理は

★ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

で、α=x,β=αと置き換えれば、

sin(x+α)=sinxcosα+cosxsinα

となります。
ここで、動径がαのときの直角三角形の横をa,縦をbとすれば、三平方の定理により、斜辺は√(a^2+b^2)なので、

cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(√a^2+b^2)

となります。

これらの値をsin(x+α)=sinxcosα+cosxsinαに代入すると、

sin(x+α)=sinx・{a/√(a^2+b^2)}+cos・{b/(√a^2+b^2)}

この式の両辺を√(a^2+b^2)倍すれば、

{√(a^2+b^2)}sin(x+α)=a・sinx+b・cosx

両辺を入れ替えると、

a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

これで三角関数の合成の公式が導けました!

慣れれば導かなくても確実にわかると思いますが、万が一のため、計算練習のため
数学的な考え方の練習のため、導けるようにしておくと良いですよ!


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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