2020年02月18日

2020年センター数学2B第1問[1] A[ケコ]まで

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[クケ]までを解説します。


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■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第1問

[1] 0≦θ<2πのとき

 sinθ>√3・cos(θ−π/3) ・・・{1}

となるθの範囲を求めよう。

 加法定理を用いると

 √3・cos(θ−π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ

である。よって、三角関数の合成を用いると、{1}は

 sin(θ+π/[エ])<0

と変形できる。したがって、求める範囲は

 ([オ]/[カ])π<θ<([キ]/[ク])π

である。

(2) 0≦θ≦π/2とし、kを実数とする。sinθとcosθはxの2次方程式
25x^2−35x+k=0の解であるとする。このとき、解と係数の関係により
sinθ+cosθとsinθcosθの値を考えれば、k=[ケコ]であることが
わかる。

 さらに、θがsinθ≧cosθを満たすとすると、sinθ=[サ]/[シ],
cosθ=[ス]/[セ]である。このとき、θは[ソ]を満たす。[ソ]に当てはまる
ものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

{0} 0≦θ<π/12  {1} π/12≦θ<π/6  {2} π/6≦θ<π/4
{3} π/4≦θ<π/3  {4} π/3≦θ<(5/12)π  {5} (5/12)π≦θ<π/2


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 π=180°
 ◆2 「加法定理」と言ってるので加法定理
 ◆3 三角関数の合成はサインの加法定理

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 「加法定理」と言ってるので加法定理

では今回の問題を確認してみましょう!

「加法定理を用いると」
「√3・cos(θ−π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ」

とあります。

「加法定理」と言っているので、その通りにやってみましょう!

★ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

ですね。α=θ,β=π/3を代入して、

 √3・cos(θ−π/3)
=√3{cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3)
=√3{cosθ(1/2)+sinθ(√3/2)}
=(√3/2)cosθ+(3/2)sinθ

よって、[ア]=3,[イ]=2,[ウ]=3


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 ◆3 三角関数の合成はサインの加法定理

続いて、{1}の式を「三角関数の合成」を用いて変形します。

三角関数の合成は、この式のように、サインとコサインがともに1次式の場合に
一つにまとめることができる方法です。

★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整した
ものだと理解することができます。

サインの加法定理は・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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