【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2020年センター試験数2Bより
第1問
[1] 0≦θ<2πのとき
sinθ>√3・cos(θ−π/3) ・・・{1}
となるθの範囲を求めよう。
加法定理を用いると
√3・cos(θ−π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ
である。よって、三角関数の合成を用いると、{1}は
sin(θ+π/[エ])<0
と変形できる。したがって、求める範囲は
([オ]/[カ])π<θ<([キ]/[ク])π
である。
(2) 0≦θ≦π/2とし、kを実数とする。sinθとcosθはxの2次方程式
25x^2−35x+k=0の解であるとする。このとき、解と係数の関係により
sinθ+cosθとsinθcosθの値を考えれば、k=[ケコ]であることが
わかる。
さらに、θがsinθ≧cosθを満たすとすると、sinθ=[サ]/[シ],
cosθ=[ス]/[セ]である。このとき、θは[ソ]を満たす。[ソ]に当てはまる
ものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
{0} 0≦θ<π/12 {1} π/12≦θ<π/6 {2} π/6≦θ<π/4
{3} π/4≦θ<π/3 {4} π/3≦θ<(5/12)π {5} (5/12)π≦θ<π/2
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
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■ 解説目次
◆1 π=180°
◆2 「加法定理」と言ってるので加法定理
◆3 三角関数の合成はサインの加法定理
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 「加法定理」と言ってるので加法定理
では今回の問題を確認してみましょう!
「加法定理を用いると」
「√3・cos(θ−π/3)=(√[ア]/[イ])cosθ+([ウ]/[イ])sinθ」
とあります。
「加法定理」と言っているので、その通りにやってみましょう!
★ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
ですね。α=θ,β=π/3を代入して、
√3・cos(θ−π/3)
=√3{cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3)
=√3{cosθ(1/2)+sinθ(√3/2)}
=(√3/2)cosθ+(3/2)sinθ
よって、[ア]=3,[イ]=2,[ウ]=3
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◆3 三角関数の合成はサインの加法定理
続いて、{1}の式を「三角関数の合成」を用いて変形します。
三角関数の合成は、この式のように、サインとコサインがともに1次式の場合に
一つにまとめることができる方法です。
★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)
サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整した
ものだと理解することができます。
サインの加法定理は・・・
(以下略)
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ラベル:数学