「～しませんか？」と誘う内容は、英語では「Shall we ～?」で表現することができます。
shallは助動詞なので、主語の後の動詞は原形になります。
例：
Shall we go to the library?(図書館に行きませんか？)
「Let's ～.」は「～しましょう」という内容なので、「Shall we ～?」とだいたい同じ内容を表すことができます。
Let'sのあとの動詞も原形です。
例：
Let's go to the library.(図書館に行きましょう)
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