高校数学「数列」「Ｓn＝ｎ^2＋５ｎの一般項」

高校数学「数列」「Ｓn＝ｎ^2＋５ｎの一般項」

■　問題

数列ａnの和Ｓnが、Ｓn＝ｎ^2＋５ｎで表されるとき、ａnを求めよ。


■　解答解説

Ｓn＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋……＋ａn-1＋ａn

なので、Ｓn−Ｓn-1＝ａnとなります。

Ｓnは初項から第ｎ項目までの和、Ｓn-1は初項から第ｎ−１項目までの和なので、その差がａnというわけですね。

ａn＝Ｓn−Ｓn-1
　＝ｎ^2＋５ｎ−{(ｎ−１)^2＋５(ｎ−１)}
　＝ｎ^2＋５ｎ−(ｎ^2−２ｎ＋１＋５ｎ−５)
　＝ｎ^2＋５ｎ−ｎ^2＋２ｎ−１−５ｎ＋５
　＝２ｎ＋４

基本的にこれで終了で大丈夫ですが、ａ1＝Ｓ1であることを確認しておくべきです。

ａ1＝２＋４＝６，Ｓ1＝１＋５＝６

よって、ａn＝２ｎ＋４

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