2020年03月25日

高校数学「三角関数」「sin22.5°」

高校数学「三角関数」「sin22.5°」

■ 問題

sin22.5°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

普通に値を求められる場合の角度は、0°,30°,45°,60°,90°などですね。

22.5°は、これらに当てはまらないので、普通に単位円を描いて考える方法では求めることができません。

22.5°=45°÷2なので、半角の公式を使うのがよいです。

半角の公式ももちろん覚えるに越したことはありませんが、2倍角の公式から導けるようにもしておくべきです。
半角の公式は全て、コサインの2倍角から導きます。

cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2

これを三角関数の相互関係を用いてコサインを消してみると、

cos2θ=1−(sinθ)^2−(sinθ)^2
    =1−2(sinθ)^2

さらに、(sinθ)^2について解いてみると、

2(sinθ)^2=1−cos2θ
 (sinθ)^2=(1−cos2θ)/2

この式のθをθ/2に置き換えたものが半角の公式になります。

{sin(θ/2)}^2=(1−cos2・θ/2)/2
        =(1−cosθ)/2

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(sin22.5°)^2=(1−cos45°)/2
         =(1−√2/2)/2
         =(2−√2)/4
sin22.5°=√{(2−√2)/4}   ←sin22.5°>0
       =√(2−√2)/2    ←分子は二重根号


関連問題
cos22.5°の場合
tan22.5°の場合


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 10:57| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]

こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN