高校数学「三角関数」「ｓｉｎ２２．５°」

高校数学「三角関数」「ｓｉｎ２２．５°」

■　問題

ｓｉｎ２２．５°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


■　解答解説

普通に値を求められる場合の角度は、０°，３０°，４５°，６０°，９０°などですね。

２２．５°は、これらに当てはまらないので、普通に単位円を描いて考える方法では求めることができません。

２２．５°＝４５°÷２なので、半角の公式を使うのがよいです。

半角の公式ももちろん覚えるに越したことはありませんが、２倍角の公式から導けるようにもしておくべきです。
半角の公式は全て、コサインの２倍角から導きます。

ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−(ｓｉｎθ)^2

これを三角関数の相互関係を用いてコサインを消してみると、

ｃｏｓ２θ＝１−(ｓｉｎθ)^2−(ｓｉｎθ)^2
　　　　＝１−２(ｓｉｎθ)^2

さらに、(ｓｉｎθ)^2について解いてみると、

２(ｓｉｎθ)^2＝１−ｃｏｓ２θ
　(ｓｉｎθ)^2＝(１−ｃｏｓ２θ)／２

この式のθをθ／２に置き換えたものが半角の公式になります。

{ｓｉｎ(θ／２)}^2＝(１−ｃｏｓ２・θ／２)／２
　　　　　　　　＝(１−ｃｏｓθ)／２

θ／２＝２２．５°とするとθ＝４５°なので、

(ｓｉｎ２２．５°)^2＝(１−ｃｏｓ４５°)／２
　　　　　　　　　＝(１−√２／２)／２
　　　　　　　　　＝(２−√２)／４
ｓｉｎ２２．５°＝√{(２−√２)／４}　　　←ｓｉｎ２２．５°＞０
　　　　　　　＝√(２−√２)／２　　　　←分子は二重根号


◆関連問題
ｃｏｓ２２．５°の場合
ｔａｎ２２．５°の場合
三角関数まとめ


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