2020年04月14日

高校数学「三角関数」「cos22.5°」

高校数学「三角関数」「cos22.5°」

■ 問題

cos22.5°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

sin22.5°の場合と同じく、cos22.5°でも半角の公式を使うのがよいです。

まずはコサインの2倍角より、cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2

相互関係より(sinθ)^2=1−(cosθ)^2を代入すると、

cos2θ=(cosθ)^2−{1−(cosθ)^2}
    =(cosθ)^2−1+(cosθ)^2
    =2(cosθ)^2−1

2(cosθ)^2=1+cos2θ
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2

ここで、θにθ/2を代入すれば、

{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2

これでコサインの半角の公式完成です。
このように、サインでもコサインでも半角の公式はコサインの2倍角から求めることができます。

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(cos22.5°)^2=(1+cos45°)/2
         =(1+√2/2)/2
         =(2+√2)/4
cos22.5°=√{(2+√2)/4}   ←cos22.5°>0
       =√(2+√2)/2    ←分子は二重根号


関連問題
sin22.5°の場合
tan22.5°の場合


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ラベル:数学
posted by えま at 10:21| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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