■ 問題
cos22.5°の値を求めよ。
半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■ 解答解説
sin22.5°の場合と同じく、cos22.5°でも半角の公式を使うのがよいです。
まずはコサインの2倍角より、cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2
相互関係より(sinθ)^2=1−(cosθ)^2を代入すると、
cos2θ=(cosθ)^2−{1−(cosθ)^2}
=(cosθ)^2−1+(cosθ)^2
=2(cosθ)^2−1
2(cosθ)^2=1+cos2θ
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2
ここで、θにθ/2を代入すれば、
{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2
これでコサインの半角の公式完成です。
このように、サインでもコサインでも半角の公式はコサインの2倍角から求めることができます。
θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、
(cos22.5°)^2=(1+cos45°)/2
=(1+√2/2)/2
=(2+√2)/4
cos22.5°=√{(2+√2)/4} ←cos22.5°>0
=√(2+√2)/2 ←分子は二重根号
関連問題
sin22.5°の場合
tan22.5°の場合
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ラベル:数学