2020年04月14日

高校数学「三角関数」「tan22.5°」

高校数学「三角関数」「tan22.5°」

■ 問題

tan22.5°の値を求めよ。


タンジェントの場合も、サインやコサインの場合ど同様に、もちろん半角の公式を使います。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

サインの半角の公式は

{sin(θ/2)}^2=(1−cosθ)/2

コサインの半角の公式は

{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2

でしたね。

これらと相互関係tanθ=sinθ/cosθを組み合わせると、簡単にタンジェントの半角の公式を導く事ができます。

tanθ=sinθ/cosθの両辺を2乗すると、

(tanθ)^2=(sinθ)^2/(cosθ)^2

ここでθにθ/2を代入すると、

{tan(θ/2)}^2={sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2

右辺の分子と分母それぞれに半角の公式を代入すれば、

{tan(θ/2)}^2={(1−cosθ)/2}/{(1+cosθ)/2}

右辺の分子と分母それぞれに2を掛けると、

{tan(θ/2)}^2=(1−cosθ)/(1+cosθ)

このように、タンジェントの半角の公式を導くことができました。

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(tan22.5°)^2=(1−cos45°)/(1+cos45°)
         =(1−√2/2)/(1+√2/2)
         =(2−√2)/(2+√2)
         =(2−√2)^2/(4−2)  ←有理化した
         =(4−4√2+2)/2
         =(6−4√2)/2
         =3−2√2

よって、tan22.5°=√(3−2√2)


関連問題
sin22.5°の場合
cos22.5°の場合


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ラベル:数学
posted by えま at 14:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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