■ 問題
tan22.5°の値を求めよ。
タンジェントの場合も、サインやコサインの場合ど同様に、もちろん半角の公式を使います。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
■ 解答解説
サインの半角の公式は
{sin(θ/2)}^2=(1−cosθ)/2
コサインの半角の公式は
{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2
でしたね。
これらと相互関係tanθ=sinθ/cosθを組み合わせると、簡単にタンジェントの半角の公式を導く事ができます。
tanθ=sinθ/cosθの両辺を2乗すると、
(tanθ)^2=(sinθ)^2/(cosθ)^2
ここでθにθ/2を代入すると、
{tan(θ/2)}^2={sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2
右辺の分子と分母それぞれに半角の公式を代入すれば、
{tan(θ/2)}^2={(1−cosθ)/2}/{(1+cosθ)/2}
右辺の分子と分母それぞれに2を掛けると、
{tan(θ/2)}^2=(1−cosθ)/(1+cosθ)
このように、タンジェントの半角の公式を導くことができました。
θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、
(tan22.5°)^2=(1−cos45°)/(1+cos45°)
=(1−√2/2)/(1+√2/2)
=(2−√2)/(2+√2)
=(2−√2)^2/(4−2) ←有理化した
=(4−4√2+2)/2
=(6−4√2)/2
=3−2√2
よって、tan22.5°=√(3−2√2)
関連問題
sin22.5°の場合
cos22.5°の場合
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ラベル:数学