高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

■問題
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1ｚ2を計算せよ。


「積の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学３の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう！

ｚ1ｚ2＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)・ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)
　　　＝ｒ1ｒ2(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)
　　　＝ｒ1ｒ2(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ1・ｉｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｉｓｉｎθ2)
　　　＝ｒ1ｒ2(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋(ｉ^2)ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2＋ｉｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)
　　　＝ｒ1ｒ2{ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉ(ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)}
　　　＝ｒ1ｒ2{ｃｏｓ(θ1＋θ2)＋ｉｓｉｎ(θ1＋θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＝ｃｏｓ(θ1＋θ2)
ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2＝ｓｉｎ(θ1＋θ2)

ですね。


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