高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

■問題
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1／ｚ2を計算せよ。


「積の極形式」の場合と同様に、「商の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学３の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう！

ｚ1／ｚ2＝{ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)}／{ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)／(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}

ここで、いわゆる「有理化」をするため、(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)／(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)を掛けると、

　　　＝(ｒ1／ｒ2){(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)／(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}{(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)／(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2)(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｉｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ1・ｉｓｉｎθ2)／{(ｃｏｓθ2)^2−ｉ^2・(ｓｉｎθ2)^2}
　　　＝(ｒ1／ｒ2)(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−(ｉ^2)ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｉｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)／{(ｃｏｓθ2)^2＋(ｓｉｎθ2)^2}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉ(ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){ｃｏｓ(θ1−θ2)＋ｉｓｉｎ(θ1−θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＝ｃｏｓ(θ1−θ2)
ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2＝ｓｉｎ(θ1−θ2)

ですね。


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