高校数学「積分」「２つの放物線の間の面積」

高校数学「積分」「２つの放物線の間の面積」

■　問題

２つの放物線ｙ＝ｘ^2−２ｘ，ｙ＝−ｘ^2＋４で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。


解答解説はこのページ下


直線と放物線の場合と基本的に同じです。


解法の習得に役立つ問題集です。



■　解答解説

曲線が境界線となっている図形の面積を求めるときは、積分を使うと計算しやすい場合が多いです。

基本的に、「上引く下で定積分」です。

今回の問題では、２つの放物線に囲まれた図形の面積なので、積分の区間は２つの交点の間となります。

ということで、まずは交点を出してみましょう！
交点は、２つの関数の式の連立方程式ですね。

ｙ＝ｘ^2−２ｘ，ｙ＝−ｘ^2＋４

両方ともｙ＝●●の形なので、右辺同士をイコールで結ぶことができますね。

　　　　　ｘ^2−２ｘ＝−ｘ^2＋４
ｘ^2−２ｘ＋ｘ^2−４＝０
　　２ｘ^2−２ｘ−４＝０
　　　　ｘ^2−ｘ−２＝０
　　　(ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
よって、ｘ＝−１，２

つまり、−１から２の区間で積分します。
この範囲では、上に凸のｙ＝−ｘ^2＋４が上側、下に凸のｙ＝ｘ^2−２ｘが下側になるので、「上引く下で定積分」をすると、

　∫[-1〜2]{(−ｘ^2＋４)−(ｘ^2−２ｘ)}ｄｘ
＝∫[-1〜2](−２ｘ^2＋２ｘ＋４)ｄｘ
＝[(−２／３)ｘ^3＋ｘ^2＋４ｘ][-1〜2]
＝(−２／３)・２^3＋２^2＋４・２−{(−２／３)・(−１)^3＋(−１)^2＋４・(−１)}
＝−１６／３＋４＋８−(２／３＋１−４)
＝−１６／３＋１２−２／３＋３
＝−１８／３＋１５
＝−６＋１５
＝９


関連項目
定積分と面積
直線と放物線の間の面積


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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