■ 問題
「ｘ^2＋３ｘ＋２を定義に従って微分せよ。」
このときは何をすれば良いでしょうか？
■ 選択肢
① 定義などに従っていられるか！公式で微分してしまえ！
② たしか、分母はｈだったから、(ｘ^2＋３ｘ＋２)／ｈとか？
③ 微分とは、限りなく近い２点間の平均変化率だから・・・なに？
④ 微分とは、限りなく近い２点間の平均変化率だから、ｈが限りなく０に近いときの、ｘからｘ＋ｈまでの変化の割合を求める
解答解説はこのページ下に
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■ 選択肢の解答・解説
④ 微分とは、限りなく近い２点間の平均変化率だから、ｈが限りなく０に 近いときの、ｘからｘ＋ｈまでの変化の割合を求める
曲線上の２点を通る直線の変化の割合を考えて、それを「平均変化率」と呼びます。この２点がある程度離れているときは、中学で習った「直線の傾き」の考えで全く問題ありません。
この２点が限りなく近くなったとき、分母がほぼゼロになってしまうので、中学で習った方法では値がわからなくなってしまいます。
そこで極限を用いて、その値(式)を求めるのが「微分」というわけです。
■ 計算式
「定義に従った微分」のときは、ｈ→０でｘからｘ＋ｈの平均変化率を計算します。すなわち、(ｙの増加量)／(ｘの増加量)を求めます。
ｌｉｍ[h→0][{(ｘ＋ｈ)^2＋３(ｘ＋ｈ)＋２－(ｘ^2＋３ｘ＋２)}／(ｘ＋ｈ－ｘ)]
＝ｌｉｍ[h→0]{(ｘ^2＋２ｈｘ＋ｈ^2＋３ｘ＋３ｈ＋２－ｘ^2－３ｘ－２)／ｈ}
＝ｌｉｍ[h→0]{(２ｈｘ＋ｈ^2＋３ｈ)／ｈ}
＝ｌｉｍ[h→0](２ｘ＋ｈ＋３) ←ｈで約分した
＝２ｘ＋３ ←ｈに０を代入した
ということで、当然ですが、公式に従った微分の場合と同じ式を求めることができました。
◆関連問題
公式に従った微分の場合
今回の問題は、この書籍のP17にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。
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ラベル：数学
