高校物理「摩擦力」粗い斜面上の加速度を求める

高校物理「摩擦力」粗い斜面上の加速度を求める

◆問題

水平とのなす角がθのあらい斜面があり、この斜面上に質量ｍの物体を置く。斜面と物体との動摩擦係数がμ、重力加速度がｇのとき、斜面を滑り落ちる物体の加速度を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解説

まずは力を一つ一つ図示しましょう！

斜面上に物体を描き、物体の重心から鉛直下向きに適当な長さの矢印を書きます。これが重力です。
力はＦ＝ｍａであり、重力加速度はｇなので、重力Ｗ＝ｍｇとなります。

この重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。
重力が対角線となるような平行四辺形(この場合は長方形)を描き、平行四辺形の辺に沿って、物体の重心から伸びる矢印とします。

水平と斜面とのなす角はθで、重力の対角線で分割された平行四辺形は相似なので、対応する角がθになります。

すると、重力の斜面に平行な方向の成分はｍｇｓｉｎθ，垂直な成分はｍｇｃｏｓθであることがわかります。
これは三角形を回転して、θを左下、直角を右下に移動した三角形を描いてみれば、わかりやすいと思います。

まずはここまでで、重力とその分力を表しました。


続いて、斜面に垂直な成分と垂直抗力はつり合っているので、Ｎ＝ｍｇｃｏｓθがわかります。

問題の設定より、物体は斜面を滑り落ちるので、摩擦力はその反対向きつまり、斜面を登る方向にはたらきます。

摩擦力はＦ＝μＮで、これにＮ＝ｍｇｃｏｓθを代入すると、Ｆ＝μｍｇｃｏｓθが得られます。

重力によって斜面を滑り落ちようとする力は先ほどのｍｇｓｉｎθで、それを妨げる力がμｍｇｃｏｓθだから、物体を加速させる力はこれらの合力で(ｍｇｓｉｎθ−μｍｇｃｏｓθ)となります。

これで物体にはたらく力を全て表すことができました。


物体はこれらの力を受けて斜面を滑り落ちているので、このときの加速度をａとして運動方程式ｍａ＝Ｆを適用すると、

ｍａ＝ｍｇｓｉｎθ−μｍｇｃｏｓθ
　ａ＝ｇｓｉｎθ−μｇｃｏｓθ　　　←両辺をｍで割った
　　＝ｇ(ｓｉｎθ−μｃｏｓθ)　　　←ｇでくくった


ということで、この斜面上の物体は、ｇ(ｓｉｎθ−μｃｏｓθ)の加速度で加速することがわかりました。


◆関連問題
「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」


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