■ 問題
「ｙ＝ｘ^3－３ｘの極値を求めよ」
このときは与式を微分しますが、他には何をすればいいでしょうか？
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① ｙ＝０で解く
② ｙ'＝０で解く
③ ｘ＝０で解く
④ ｙ'の式を平方完成する
解答解説はこのページ下に
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■ 選択肢の解答・解説
② ｙ'＝０で解く
極値とは、曲線のグラフの山や谷の部分の先端の値のことです。山や谷の先端では、関数の増減が切り替わるので、接線の傾きはゼロになります。つまり、ｙ'＝０となるのです。ｙ'＝０で解けば、極値のときのｘの値がわかる。というわけです。
■ 計算式
極値はｙ'＝０のときのｙの値のことです。だから、ｙ'＝０で解いて、求めたｘ座標からｙ座標を求めます。まず、微分するとｙ'＝３ｘ^2－３ですね。このｙ'がゼロのときが極値なので、ｙ'＝０で解きます。
３ｘ^2－３＝０
ｘ^2－１＝０
(ｘ＋１)(ｘ－１)＝０
∴ｘ＝－１，１
ｘがこれらの値のときのｙの値が極値になります。
ｘ＝－１のとき、ｙ＝(－１)^3－３×(－１)＝－１＋３＝２
ｘ＝１のとき、ｙ＝１^3－３×１＝１－３＝－２
増減表は
│ ｘ│ …│－１│ …│ １│ …│
│ ｙ'│ ＋│ ０│ －│ ０│ ＋│
│ ｙ│ ↗ │ ２│ ↘ │－２│ ↗ │
となります。極値のうち、大きい方が「極大値」、小さい方が「極小値」です。
よって、ｘ＝－１のとき極大値２，ｘ＝１のとき極小値２
今回の問題は、この書籍のP37にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。
◆関連問題
ｙ＝ｘ^3－ｘの、ｘ＝３における微分係数
ｙ＝ｘ^3－３ｘの増減
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