高校物理「力学的エネルギー」斜面を滑り上がる物体

高校物理「力学的エネルギー」斜面を滑り上がる物体

◆問題

水平面に対する傾角θのなめらかな斜面がある。斜面の最下点から斜面を滑り上がるように物体を押し出すとき、その物体が斜面の最高点に達するには、初速をいくらにすれば良いか求めよ。ただし、斜面の長さをｌ，重力加速度をｇとする。


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◆解説

何通りかの解き方が可能ですが、ここでは最も標準的と思われる、力学的エネルギーの保存を使った解き方をやってみます。

斜面がなめらかなので、物体と斜面の間の摩擦はゼロと考えられます。
このような場合は、力学的エネルギーが保存するということができます。
つまり、運動エネルギーをＫ，位置エネルギーをＵとすると

Ｋ1＋Ｕ1＝Ｋ2＋Ｕ2

という式が成り立ちます。

ここでは、斜面の最下点がＫ1，Ｕ1、斜面の最高点がＫ2，Ｕ2と考えて式を立てます。

斜面の最下点で物体に与える初速を聞いているので、その初速度をｖ0とします。
物体の質量は書いてないので、一般的にｍとおきます。
最下点の高さは０とするのがノーマルです。

というわけで、

Ｋ1＝(１／２)ｍ(ｖ0)^2，Ｕ1＝０

がわかりました。


続いて、Ｋ2，Ｕ2について考えます。

「最高点までいかせる」ので、最高点では速度がゼロと考えると、Ｋ2＝０です。

位置エネルギーを考えるためには、斜面の高さが必要です。
今回の問題では、傾角θで、斜面の長さがｌなので、斜面の最高点の高さは、ｌ・ｓｉｎθとなります。
直角三角形において、斜辺がｌ，左下の角がθ、右下の角が９０°だから、縦はｌ・ｓｉｎθというわけですね。よって、

Ｕ2＝ｍｇ・ｌ・ｓｉｎθ

となります。

Ｋ1＋Ｕ1＝Ｋ2＋Ｕ2なので、

(１／２)ｍ(ｖ0)^2＋０＝０＋ｍｇ・ｌ・ｓｉｎθ

両辺を２倍してｍで割ると、

(ｖ0)^2＝２ｇｌｓｉｎθ
　ｖ0＝√(２ｇｌｓｉｎθ)

ということで、求める初速度は√(２ｇｌｓｉｎθ)ですね！


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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