高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの長さが自然長になったときのＰの速さｖ1

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの長さが自然長になったときのＰの速さｖ1

◆問題

なめらかな水平面上に置かれたばね定数ｋ[Ｎ／ｍ]の軽いばねに、質量ｍ[ｋｇ]の小球Ｐを押し当てて、ばねを自然長からａ[ｍ]だけ縮ませた。

(1) 小球Ｐを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのＰの速さｖ1を求めよ。


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◆解説

ばねの弾性力についても、力学的エネルギーの保存が成り立ちます。つまり、

「小球のもつ運動エネルギーとばねの弾性力による位置エネルギーの和が一定である」

ということができます。

ばねの弾性力による位置エネルギーＵは、「Ｕ＝(１／２)ｋｘ^2」で表されます。
運動エネルギーの「Ｋ＝(１／２)ｍｖ^2」と同じ形の式なので、覚えやすいと思います。

ばねを自然長からａ[ｍ]押し込んだ時点では、小球は止まっているのでｖ＝０であり運動エネルギーは０[Ｊ]です。
このときの位置エネルギーはＵ＝(１／２)ｋａ^2ですね。

ばねが自然長になったときは、ばねの伸びは０[ｍ]なので位置エネルギーはゼロになります。
つまり、「もともと持っていた位置エネルギーが全て運動エネルギーに変換された」と考えられます。
このときの速さがｖ1だから、

(１／２)ｋａ^2＝(１／２)ｍｖ1^2

あとはこれをｖについて解いて、

ｋａ^2＝ｍｖ1^2
ｍｖ1^2＝ｋａ^2
　ｖ1^2＝ｋａ^2／ｍ
　　ｖ1＝ａ√(ｋ／ｍ) [ｍ／ｓ]


この場合は「なめらかな平面」なので、摩擦力が働かないため、力学的エネルギーが保存するのでこのように単純に式を作ることができました。
さらに、摩擦力が働かないため、小球は等速直線運動をします。だから、ばねから小球が離れたあとは、小球の位置にかかわらず、速さはｖ＝ａ√(ｋ／ｍ)のまま一定であることも意識しておくといいでしょう！


次の問題→(2) ばねの縮みが(１／２)ａ[ｍ]のときの、小球Ｐの速さｖ2を求めよ。


◆関連問題
斜面を滑り上がる物体
人工衛星の力学的エネルギー


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