■ 問題
「ｙ＝ｘ^2＋ｘとｙ＝２ｘ＋６に囲まれた図形の面積を求めよ」
このときは何をすればいいでしょうか？
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① ２つの式それぞれを積分する
② ２つの式それぞれを微分する
③ ２次関数から１次関数を引いて積分する
④ １次関数から２次関数を引いて積分する
解答解説はこのページ下に
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■ 選択肢の解答・解説
④ １次関数から２次関数を引いて積分する
関数同士で囲まれた図形の面積を求めるときは、★「上引く下で定積分」というイメージで計算します。定積分はｘ軸との間の面積を表すので、上側の値から下側の値を引けば、それらのグラフに囲まれた図形の面積が得られる。というわけです。
積分の区間は、交点の間になります。交点は連立方程式で求めることができますね！
■ 計算式
まずは連立方程式を解いて、交点を求めましょう！
ｘ^2＋ｘ＝２ｘ＋６
ｘ^2＋ｘ－２ｘ－６＝０
ｘ^2－ｘ－６＝０
(ｘ＋２)(ｘ－３)＝０ ∴ｘ＝－２，３
ｙ＝ｘ^2＋ｘは下に凸のグラフなので、２つの交点の間では１次関数が上、２次関数が下になります。だから「１次関数－２次関数」で積分ですね！
Ｓ＝∫[-2～3](２ｘ＋６－ｘ^2－ｘ)ｄｘ
＝∫[-2～3](－ｘ^2＋ｘ＋６)ｄｘ ←まとめた
＝[－(１／３)ｘ^3＋(１／２)ｘ^2＋６ｘ][-2～3]
＝－(２７／３)＋(９／２)＋６・３－{－(－８／３)＋４／２＋６×(－２)}
＝(－５４＋２７＋１０８)／６－(１６＋１２－７２)／６ ←通分した
＝８１／６－(－４４／６)
＝１２５／６
今回の問題は、この書籍のP89にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。
◆関連問題
「ｙ＝－ｘ^2＋２ｘと直線ｘ＝１，ｘ＝２，ｘ軸とで囲まれた図形」
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