■ 問題
ｆ(ｘ)＝∫[0～2]{３ｘ^2－ｘ・ｆ(ｔ)}ｄｔを満たす関数ｆ(ｘ)を求めよ。
解答解説はこのページ下に
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■ 解答解説
定積分は計算すると定数になるので、定積分の部分を一つの文字でおくと簡単な方程式を作ることができて、ｆ(ｘ)を求めることができる。と考えられるようにしておきましょう！
今回の問題は定積分を含む方程式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0～1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１よりも少し複雑ですが、基本的な考え方は変わりません。
まずは定積分の部分をばらばらに分けます。
ｆ(ｘ)＝∫[0～2]３ｘ^2ｄｔ－∫[0～2]ｘ・ｆ(ｔ)ｄｔ
ｔについて積分するのでｘは定数とみなして、
ｆ(ｘ)＝３ｘ^2・∫[0～2]ｄｔ－ｘ・∫[0～2]ｆ(ｔ)ｄｔ
ここで、∫[0～2]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ａとおくと、
ｆ(ｘ)＝３ｘ^2・(２－０)－ａｘ
＝６ｘ^2－ａｘ
ａ＝∫[0～2]ｆ(ｔ)ｄｔなので、
ａ＝∫[0～2](６ｔ^2－ａｔ)ｄｔ
＝[２ｔ^3－(１／２)ａｔ^2][0～2]
＝２・２^3－(１／２)ａ・２^2－０
＝１６－２ａ
ａ＝１６－２ａだから、３ａ＝１６よりａ＝１６／３
ｆ(ｘ)＝６ｘ^2－ａｘなので、もとめる関数はｆ(ｘ)＝６ｘ^2－(１６／３)ｘ
今回の問題の関連問題は、この書籍のP68にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。
◆関連問題
定積分を含む方程式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0～1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１
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