2020年09月03日

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dt

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dt

■ 問題

f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dtを満たす関数f(x)を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

定積分は計算すると定数になるので、定積分の部分を一つの文字でおくと簡単な方程式を作ることができて、f(x)を求めることができる。と考えられるようにしておきましょう!

今回の問題は定積分を含む方程式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1よりも少し複雑ですが、基本的な考え方は変わりません。

まずは定積分の部分をばらばらに分けます。

f(x)=∫[0〜2]3x^2dt−∫[0〜2]x・f(t)dt

tについて積分するのでxは定数とみなして、

f(x)=3x^2・∫[0〜2]dt−x・∫[0〜2]f(t)dt

ここで、∫[0〜2]f(t)dt=aとおくと、

f(x)=3x^2・(2−0)−ax
  =6x^2−ax

a=∫[0〜2]f(t)dtなので、

a=∫[0〜2](6t^2−at)dt
 =[2t^3−(1/2)at^2][0〜2]
 =2・2^3−(1/2)a・2^2−0
 =16−2a

a=16−2aだから、3a=16よりa=16/3

f(x)=6x^2−axなので、もとめる関数はf(x)=6x^2−(16/3)x


今回の問題の関連問題は、この書籍のP68にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
定積分を含む方程式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1


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ラベル:数学
posted by えま at 22:42| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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