■ 問題
１辺の長さが２、対角線ＡＣの長さが√１０のひし形ＡＢＣＤについて考える。→ＡＢ＝→ａ，→ＡＤ＝→ｂとし、辺ＢＣ，辺ＣＤをそれぞれ３：１に内分する点をＥ，Ｆとするとき、次の問いに答えよ。
(1) →ＥＦを→ａ，→ｂで表せ。
(2) →ａ・→ｂを求めよ。
このページでは(2)を解説します。
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■ 解答解説
ベクトルの内積は基本的には次の公式で求めることができます。
→ａ・→ｂ＝|→ａ||→ｂ|ｃｏｓθ
「内積はベクトルの長さを掛けてなす角のコサインを掛ける。」という計算で求められます。
この問題でももちろんこの公式を使うことは可能ですが、ｃｏｓθを求めるのがちょっと大変なので、別の方法を考えた方が良いです。
→ａ，→ｂは、ひし形の隣り合う２辺なので、「→ａ＋→ｂ＝→ＡＣ」です。
問題文に「対角線ＡＣの長さは√１０」とあるので、この式の両辺を２乗してみると・・・
|→ａ＋→ｂ|^2＝|→ＡＣ|^2
|→ａ|^2＋２(→ａ・→ｂ)＋|→ｂ|^2＝|→ＡＣ|^2
|→ａ|と|→ｂ|はひし形の１辺なので大きさは２，|→ＡＣ|は対角線なので大きさは√１０だから、これらを代入すると、
２^2＋２(→ａ・→ｂ)＋２^2＝√１０^2
４＋２(→ａ・→ｂ)＋４＝１０
→ａ・→ｂ以外の文字は全て消えたので、あとは→ａ・→ｂについて解けば、内積の値がわかる。というわけですね！
２(→ａ・→ｂ)＝１０－８
２(→ａ・→ｂ)＝２
→ａ・→ｂ＝１
次の問題→|→ＥＦ|を求める。
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