■ 問題
→ａ＝(４，－３)，→ｂ＝(－１，２)，ｔは実数のとき、|→ａ＋ｔ・→ｂ|の最小値とそのときのｔの値を求めよ。
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■ 解答解説
|→ａ＋ｔ・→ｂ|について考えるので、まずは→ａ＋ｔ・→ｂを求めます。
→ａ＝(４，－３)，→ｂ＝(－１，２)なので、
→ａ＋ｔ・→ｂ＝(４，－３)＋ｔ(－１，２)
＝(４－ｔ，－３＋２ｔ)
これの絶対値について考えるので、このベクトルの大きさを表します。
|→ａ＋ｔ・→ｂ|＝√{(４－ｔ)^2＋(－３＋２ｔ)^2}
＝√(１６－８ｔ＋ｔ^2＋９－１２ｔ＋４ｔ^2)
＝√(５ｔ^2－２０ｔ＋２５)
この式の値が最小になるのは、ルートの中身が最小になるときだから、２次関数の最小のときと同様に平方完成して、
５ｔ^2－２０ｔ＋２５
＝５(ｔ^2－４)＋２５
＝５{(ｔ－２)^2－４}＋２５
＝５(ｔ－２)^2－２０＋２５
＝５(ｔ－２)^2＋５
最小になるのはｔ＝２で、|→ａ＋ｔ・→ｂ|＝√(５ｔ^2－２０ｔ＋２５)だから、そのとき最小値は√５
◆関連問題
→ａ＝(１０，５)，→ｂ＝(１，２)のとき
ベクトルまとめ
絶対値
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