指数と対数は次のような関係があります。
ａ^b＝ｃ ←→ ｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ
つまり、指数の表し方を変えたものが対数であり、指数と対数は表裏一体です。
数多くの問題を解いて、イメージを掴んでいきましょう！
このブログに掲載した指数対数に関する問題や解説の一覧です。
◆指数
分数の指数の解説
例えば、２^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか？
１６^(3/4)
１６^(3/4)は、「１６の４分の３乗」です。では・・・
８１^(-5/4)
マイナスの指数は逆数を表すので・・・
{３^(-2/3)}×{３^(5/3)}
「３のマイナス２／３乗×３の５／３乗」です。
{７^(1/2)}÷{７^(1/6)}×{７^(2/3)}
指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。
ｙ＝２^xにおいて、ｘ＝５／２のときのｙの値
ｘ＝５／２と言っているのだから、代入して計算すれば・・・
ｙ＝２^xのグラフ
とにかくいくつか座標を求めて・・・
７の６乗根
「７の６乗根」とは「６乗したら７になる数」のことです。だから・・・
(√７)×(７の３乗根)×(７の６乗根)
累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して・・・
９の３乗根、８１の５乗根、２４３の７乗根を小さい順に並べ替えよ。
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが・・・
指数方程式４^x−３・２^(x+1)−１６＝０
指数方程式としては標準的な問題です。
指数不等式(１／９)^x−(１／３)^x−６＜０
ｔ＝(１／３)^xとすれば・・・
「二重根号」√(４＋２√３)
２乗とルートで相殺するので・・・
◆対数
指数と対数の関係
対数は「ａをｃにするには何乗すればいいか」を表しています。
対数の計算方法・公式
指数と対数は相互に変換しながら計算することも多いです！
ｌｏｇ[4](ｙ＋３)を底が２の対数に変換せよ。
底の変換公式を使います。
次の式の値を求めよ。３^(2log[3]4)
指数と対数の関係に従って変形してみましょう！
ｌｏｇ[2]８＋ｌｏｇ[2]４
念のため言っておきますが、答えはｌｏｇ[2]１２ではありません。
ｌｏｇ[2]１２＋ｌｏｇ[2](１／３)
まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。
◆対数方程式
対数方程式ｌｏｇ[5]ｘ＝２
対数方程式ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３
指数と対数の関係に従って式を変形します。
対数方程式ｌｏｇ[2](ｘ＋３)＋ｌｏｇ[2]ｘ＝２
左辺の対数を１個に・・・
対数方程式(ｌｏｇ[2]ｘ)^2＋ｌｏｇ[2]ｘ−６＝０
対数方程式(ｌｏｇ[9]ｘ)^2−２ｌｏｇ[3]ｘ＋４＝０
２次方程式になっているな〜
◆対数不等式
対数不等式ｌｏｇ[2]ｘ＞３
このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして・・・
対数不等式ｌｏｇ[1/3]ｘ＞２
底が１より小さい場合は、大小関係に注意が必要です。
◆対数関数
ｙ＝ｌｏｇ[2](１／ｘ)のグラフ
与式を変形してからグラフを描くと、わかりやすくなる場合があります。
ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2−ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６
ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとして・・・
◆常用対数
３^50は何桁の数か
底が１０の対数を「常用対数」と言います。常用対数の値がわかれば、その数字の桁数がわかります。
(１／５)^10を小数で表した場合、小数第何位にはじめて０でない数が現れるか
この場合も、まずは常用対数の値を求めます。
ｌｏｇ[10]２＝０．３０１０とするとき、ｌｏｇ[10]５の値
ｌｏｇ[10]５の真数の５を、２を用いて表せば・・・
◆数学３の範囲
対数微分法次の関数を微分せよ。ｙ＝ｘ^(sinx)
変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。
対数の極限ｌｉｍ[x→1]{ｌｏｇｘ／(ｘ−１)}
微分係数の定義を利用して極限値を求める問題です。
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ラベル：数学
