高校数学「指数・対数まとめ」

高校数学「指数・対数まとめ」

指数と対数は次のような関係があります。

ａ^b＝ｃ　←→　ｌｏｇ_aｃ＝ｂ

つまり、指数の表し方を変えたものが対数であり、指数と対数は表裏一体です。
数多くの問題を解いて、イメージを掴んでいきましょう！

このブログに掲載した指数対数に関する問題や解説の一覧です。

◆指数
分数の指数の解説
例えば、２^1/2を指数を使わず表すとどうなるでしょうか？

１６^3/4
１６^3/4は、「１６の４分の３乗」です。では・・・

８１^-5/4
マイナスの指数は逆数を表すので・・・

３^-2/3×３^5/3
「３のマイナス２／３乗×３の５／３乗」です。

７^1/2÷７^1/6×７^2/3
指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

ちょっとだけ難しい計算→２^5/3−２^2/3など

ｙ＝２^xにおいて、ｘ＝５／２のときのｙの値
ｘ＝５／２と言っているのだから、代入して計算すれば・・・

ｙ＝２^xのグラフ
とにかくいくつか座標を求めて・・・

７の６乗根
「７の６乗根」とは「６乗したら７になる数」のことです。だから・・・

(√７)×(７の３乗根)×(７の６乗根)
累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して・・・

９の３乗根、８１の５乗根、２４３の７乗根を小さい順に並べ替えよ。、０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが・・・

指数方程式４^x−３・２^x+1−１６＝０
指数方程式としては標準的な問題です。
→少し難しい問題２^x−２４・２^-x＝５

指数不等式(１／９)^x−(１／３)^x−６＜０
ｔ＝(１／３)^xとすれば・・・

指数不等式４^x+1−５・２^x＋１＞０
２^xについての不等式と考えます。

「二重根号」√(４＋２√３)
２乗とルートで相殺するので・・・


◆対数
指数と対数の関係
対数は「ａをｃにするには何乗すればいいか」を表しています。

対数の計算方法・公式
指数と対数は相互に変換しながら計算することも多いです！

ｌｏｇ₄(ｙ＋３)を底が２の対数に変換せよ。
底の変換公式を使います。

次の式の値を求めよ。３^2log₃4
指数と対数の関係に従って変形してみましょう！

ｌｏｇ₂８＋ｌｏｇ₂４
念のため言っておきますが、答えはｌｏｇ₂１２ではありません。

ｌｏｇ₂１２＋ｌｏｇ₂(１／３)
まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。

ｌｏｇ₂３＝ａ，ｌｏｇ₂５＝ｂとするとき、次の式をａ，ｂで表せ。
対数の計算法則を用いて、ａ，ｂと同じ形を作ります。


◆対数方程式
対数方程式ｌｏｇ₅ｘ＝２
対数方程式ｌｏｇ₂(ｘ＋１)＝３
指数と対数の関係に従って式を変形します。

対数方程式ｌｏｇ₂(ｘ＋３)＋ｌｏｇ₂ｘ＝２
左辺の対数を１個に・・・

対数方程式(ｌｏｇ₂ｘ)²＋ｌｏｇ₂ｘ−６＝０
対数方程式(ｌｏｇ₉ｘ)²−２ｌｏｇ₃ｘ＋４＝０
２次方程式になっているな〜


◆対数不等式
対数不等式ｌｏｇ₂ｘ＞３
このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして・・・

対数不等式ｌｏｇ_1/3ｘ＞２
底が１より小さい場合は、大小関係に注意が必要です。

ｌｏｇ₅(ｘ−２)＜ｌｏｇ₅(６−ｘ)
ｌｏｇ₃(ｘ−４)＋ｌｏｇ₃(ｘ−２)＜１

◆指数・対数方程式・不等式の応用
方程式５^1-x＝２^x+1
不等式２^x+1＞３^x
底が異なっているなら合わせます。

ｌｏｇ₂ｘ＋ｌｏｇ₂ｙ＝３と２^x+y＝６４の連立方程式


◆対数関数
ｙ＝ｌｏｇ₂(１／ｘ)のグラフ
与式を変形してからグラフを描くと、わかりやすくなる場合があります。

ｙ＝(ｌｏｇ₂ｘ)²−ｌｏｇ₂ｘ⁴＋６
ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとして・・・


◆常用対数
３⁵⁰は何桁の数か
底が１０の対数を「常用対数」と言います。常用対数の値がわかれば、その数字の桁数がわかります。

(１／５)¹⁰を小数で表した場合、小数第何位にはじめて０でない数が現れるか
この場合も、まずは常用対数の値を求めます。

ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０とするとき、ｌｏｇ₁₀５の値
ｌｏｇ₁₀５の真数の５を、２を用いて表せば・・・


◆数学３の範囲
対数微分法次の関数を微分せよ。ｙ＝ｘ^sinx
変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数の極限ｌｉｍ[x→1]{ｌｏｇｘ／(ｘ−１)}
微分係数の定義を利用して極限値を求める問題です。


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