2020年10月15日

高校数学「指数・対数まとめ」

高校数学「指数・対数まとめ」

指数と対数は次のような関係があります。

a^b=c ←→ log[a]c=b

つまり、指数の表し方を変えたものが対数であり、指数と対数は表裏一体です。
数多くの問題を解いて、イメージを掴んでいきましょう!

このブログに掲載した指数対数に関する問題や解説の一覧です。

◆指数
分数の指数の解説
例えば、2^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか?

16^(3/4)
16^(3/4)は、「16の4分の3乗」です。では・・・

81^(-5/4)
マイナスの指数は逆数を表すので・・・

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}
「3のマイナス2/3乗×3の5/3乗」です。

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}
指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

y=2^xにおいて、x=5/2のときのyの値
x=5/2と言っているのだから、代入して計算すれば・・・

y=2^xのグラフ
とにかくいくつか座標を求めて・・・

7の6乗根
「7の6乗根」とは「6乗したら7になる数」のことです。だから・・・

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して・・・

9の3乗根、81の5乗根、243の7乗根を小さい順に並べ替えよ。
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが・・・

指数方程式4^x−3・2^(x+1)−16=0
指数方程式としては標準的な問題です。

指数不等式(1/9)^x−(1/3)^x−6<0
t=(1/3)^xとすれば・・・


◆対数
指数と対数の関係
対数は「aをcにするには何乗すればいいか」を表しています。

対数の計算方法・公式
指数と対数は相互に変換しながら計算することも多いです!

log[4](y+3)を底が2の対数に変換せよ。
底の変換公式を使います。

次の式の値を求めよ。3^(2log[3]4)
指数と対数の関係に従って変形してみましょう!

log[2]8+log[2]4
念のため言っておきますが、答えはlog[2]12ではありません。

log[2]12+log[2](1/3)
まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。


◆対数方程式
対数方程式log[5]x=2
対数方程式log[2](x+1)=3
指数と対数の関係に従って式を変形します。

対数方程式log[2](x+3)+log[2]x=2
左辺の対数を1個に・・・

対数方程式(log[2]x)^2+log[2]x−6=0
対数方程式(log[9]x)^2−2log[3]x+4=0
2次方程式になっているな〜


◆対数不等式
対数不等式log[2]x>3
このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして・・・

対数不等式log[1/3]x>2
底が1より小さい場合は、大小関係に注意が必要です。


◆対数関数
y=log[2](1/x)のグラフ
与式を変形してからグラフを描くと、わかりやすくなる場合があります。

y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6
t=log[2]xとして・・・


◆常用対数
3^50は何桁の数か
底が10の対数を「常用対数」と言います。常用対数の値がわかれば、その数字の桁数がわかります。

(1/5)^10を小数で表した場合、小数第何位にはじめて0でない数が現れるか
この場合も、まずは常用対数の値を求めます。

log[10]2=0.3010とするとき、log[10]5の値
log[10]5の真数の5を、2を用いて表せば・・・


◆数学3の範囲
対数微分法次の関数を微分せよ。y=x^(sinx)
変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数の極限lim[x→1]{logx/(x−1)}
微分係数の定義を利用して極限値を求める問題です。


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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