【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2019年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５とする。
このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である。
△ＡＢＣの内接円の半径は√[ア]／[イ]である。
この内接円と辺ＡＢとの接点をＤ，辺ＡＣとの接点をＥとする。
ＡＤ＝[ウ]，ＤＥ＝[エ]√[オカ]／[キ]
である。
線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰ，直線ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。
ＢＱ／ＣＱ＝[ク]／[ケ]
であるから、ＢＱ＝[コ]であり、△ＡＢＣの内心をＩ
とすると
ＩＱ＝√[サ]／[シ]
である。また、直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦと
すると
ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝√[スセ]／[ソ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆２ 普段の勉強では、出てる値も出してみるのがオススメ！
◆３ 三角形の辺は内接円の接線
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 普段の勉強では、出てる値も出してみるのがオススメ！
では今回の問題です。
「ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５」の△ＡＢＣについて考えます。
「このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である」
とあります。
三角比の問題なら普通はこういった値を出すところから始めますが、５番は
平面図形の性質の問題ということで、三角比の値は与えられています。
実際のセンターでは、「じゃ、そのまま使おう！」で構いませんが、普段の勉強
では、本当にこれらの値になるのか求めるところからやることをお勧めします。
三角形の３辺がわかっているとき、コサインの値は、余弦定理で出すことが
できますね。
★ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓＡ
ａ＝ＢＣ＝７，ｂ＝ＣＡ＝５，ｃ＝ＡＢ＝４，∠Ａ＝∠ＢＡＣですね。
これらの値を代入してみると、
７^2＝５^2＋４^2−２×５×４×ｃｏｓ∠ＢＡＣ
４９＝２５＋１６−４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ
４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝４１−４９
４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−８
ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５
ということで、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５がわかりました。
コサインがわかれば、サインは三角比の相互関係で求める事ができますね。
★(ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１
θ＝∠ＢＡＣとして、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５を代入すると、
(ｓｉｎθ)^2＋(−１／５)^2＝１
(ｓｉｎθ)^2＋１／２５＝１
(ｓｉｎθ)^2＝１−１／２５
(ｓｉｎθ)^2＝２４／２５
ｓｉｎθ＝２√６／５
ということで、ｓｉｎθ＝２√６／５も確認できました。
このようにちゃんと出してみると、より良い理解につながります。
ぜひ皆さんも日頃から取り組んでみてください！
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◆３ 三角形の辺は内接円の接線
では、今回の問題の最初の設問「△ＡＢＣの内接円の半径」を求めていきましょう！
内接円とは三角形の内側に描いた円で、円周と三角形の３辺が接する円です。
円周と辺が接するので、当然、三角形の３辺は内接円の接線です。
そして接線ならば当然「接線の性質」が成り立つ。ということができます。
★円の中心から接点に引いた半径は、接線と垂直に交わる
という性質があるので、△ＡＢＣの頂点と内接円の中心Ｏを結んで、ＯＡ，ＯＢ，
ＯＣによって△ＡＢＣを３つの三角形に分けると、３つとも半径が「高さ」に…
つづく
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ラベル：数学
