■ 問題
→ａ＝(２，－１)とのなす角が４５°で、大きさが√１０のベクトル→ｂを求めよ。
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
■ 解答解説
未知のベクトル→ｂを求める問題です。
→ｂは今のところわかっていないので、文字でおいてみる。と考えます。
→ｂ＝(ｘ，ｙ)として、問題の設定の通りの式を作ってみましょう！
「→ａ＝(２，－１)とのなす角が４５°」とあるので、まずは内積の公式を使います。
→ａ・→ｂ＝２ｘ－ｙ
ですね。
→ａ・→ｂ＝|→ａ||→ｂ|ｃｏｓθだから、|→ａ|と|→ｂ|を求めます。
|→ａ|＝√{２^2＋(－１)^2}＝√(４＋１)＝√５
|→ｂ|＝√(ｘ^2＋ｙ^2)＝√１０
これらの値とθ＝４５°を代入して、
２ｘ－ｙ＝√５・√１０・ｃｏｓ４５°
２ｘ－ｙ＝５√２・１／√２
２ｘ－ｙ＝５ ・・・①
|→ｂ|＝√(ｘ^2＋ｙ^2)＝√１０なので、両辺を２乗して、
ｘ^2＋ｙ^2＝１０ ・・・②
これでｘ，ｙの式が２つできたので、①，②を連立して解けばＯＫ！
①より、－ｙ＝－２ｘ＋５すなわちｙ＝２ｘ－５・・・③
③を②に代入して、
ｘ^2＋(２ｘ－５)^2＝１０
ｘ^2＋４ｘ^2－２０ｘ＋２５＝１０
５ｘ^2－２０ｘ＋２５－１０＝０
ｘ^2－４ｘ＋３＝０
(ｘ－１)(ｘ－３)＝０
よって、ｘ＝１，３
ｘ＝１を③に代入すると、ｙ＝２－５＝－３
ｘ＝３を③に代入すると、ｙ＝６－５＝１
求めるベクトルは、→ｂ＝(１，－３)，(３，１)
◆関連問題
「内積」|→ａ|＝２，|→ｂ|＝６，θ＝４５°
、→ｃ＝ｓ・→ａ＋ｔ・→ｂ
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ラベル：数学
