■ 問題
△ＡＢＣと点Ｐに関して、次の式が成り立っているとき、点Ｐはどのような位置にあるか求めよ。
２・→ＰＡ＋３・→ＰＢ＋→ＰＣ＝→０
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
■ 解答解説
「どのような位置にあるか」と言われても、最初は何をしたらいいかわからないと思います。
そんなときは、「とりあえずできることをやる」ことで、何とかなる場合もあります。
今回は、→ＡＰをメインに考えて、問題で与えられたその他のベクトルを→ＡＰを使って表してみます。
一つのベクトルで表すことができれば、足したり引いたり、連立方程式として計算して消去したりすることができます。
また、全てのベクトルの始点を一致させると、ベクトルの計算法則が使えます。
ベクトルの計算法則より、
→ＰＡ＝－→ＡＰ，→ＰＢ＝→ＡＢ－→ＡＰ，→ＰＣ＝→ＡＣ－→ＡＰ
ですね。
これらを与式に代入してみると、
２・→ＰＡ＋３・→ＰＢ＋→ＰＣ＝→０
－２・→ＡＰ＋３(→ＡＢ－→ＡＰ)＋(→ＡＣ－→ＡＰ)＝→０
展開してまとめると、
３・→ＡＢ＋→ＡＣ－６・→ＡＰ＝→０
移項して、
６・→ＡＰ＝３・→ＡＢ＋→ＡＣ
→ＡＰ＝(３・→ＡＢ＋→ＡＣ)／６
内分と似た形の式ができました。
これを内分の公式と同じ形にすれば、点Ｐがどんな位置なのかわかりそうですね！
分子は３・→ＡＢ＋→ＡＣなので、内分の公式のｍ，ｎは１，３と考えられます。
(ｎ・→ａ＋ｍ・→ｂ)／(ｍ＋ｎ)の形にするためには、分母は４にならないといけないので、分母の６を４にするために、(１／６)＝(２／３)・(１／４)と書き換えると、
→ＡＰ＝(２／３)(１／４)(３・→ＡＢ＋→ＡＣ)
＝(２／３)(３・→ＡＢ＋→ＡＣ)／４
つまり、→ＡＰは、(３・→ＡＢ＋→ＡＣ)／４を２／３倍したベクトルです。
さらに、(３・→ＡＢ＋→ＡＣ)／４は、△ＡＢＣの辺ＢＣを１：３に内分する点ですね。
よって、「点Ｐは、点Ａと△ＡＢＣの辺ＢＣを１：３に内分する点を結んだ線分を１：２に内分する点である」ということがわかりました！
◆関連問題
２点Ａ(→ａ)，Ｂ(→ｂ)を結ぶ線分ＡＢを、１：２に内分、ｔ：１－ｔとおくとき
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