2020年11月01日

高校数学「三角方程式」√3・sinx−cosx=0

高校数学「三角方程式」√3・sinx−cosx=0

■ 問題

次の三角方程式を解け。√3・sinx−cosx=0(0≦x<2π)

このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 三角比の相互関係を使う

 A 三角関数の加法定理を使う

 B 三角関数の合成をする

 C 両辺をcosxで割る


この問題は次の問題集のP.61に掲載されています。


■ 選択肢の解答

 B 三角関数の合成をする

 基本的には、一つの式の中にサインとコサインの両方があると解きにくいので、どちらか片方に統一する。という考えです。
 57ページの問題のように2次式ならば相互関係で解決ですが、今回の問題では1次式なので、サインとコサインの相互関係は使えません。そんなときは、「三角関数の合成」をします。
 三角関数の合成★a・sinx+b・cosx=√(a^2+b^2)・sin(x+α)をすると、サインとコサインの1次式をサインの1次式に変換することができます。


■ 解答解説

 サインの係数が√3,コサインの係数が−1だから、横に√3、縦に−1の直角三角形を考えます。
そのとき1:2:√3になるので、斜辺は2です。ということで、

√3・sinx−cosx=0
   2sin(x−30°)=0   ←三角関数の合成
    sin(x−30°)=0   ←両辺を2で割った

と変換できます。
サインの値がゼロになるのは、0°と180°の場合なので、xの値は、
x−30°=0°すなわちx=30°=π/6
x−30°=180°すなわちx=210°=7π/6

よって、求めるxの値は、x=π/6,7π/6


◆関連問題
2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3


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ラベル:数学
posted by えま at 07:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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