2020年11月12日

高校数学「三角関数」「半角の公式」2倍角から導く

高校数学「三角関数」「半角の公式」2倍角から導く

■ 問題

サインの半角の公式を、三角関数の2倍角の公式を使って導け。

このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ サインの公式なんだから、サインの2倍角を使うに決まってる

 A サインだろうがコサインだろうが、コサインの2倍角から導く

 B 半角の公式の場合は、タンジェントの2倍角を使うとよい

 C 半角の公式は導けない。いやむしろ、導かない


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■ 選択肢の解答

 A サインだろうがコサインだろうが、コサインの2倍角から導く

 半角の公式は、コサインの2倍角の公式から導くことができます。
 「cos2α=cosα−sinα」ですね。この式と三角比の相互関係の公式を組み合わせて変形すれば、半角の公式が導けるのです。
 そして先ほど38ページで見てみたように、2倍角の公式は、加法定理の公式から簡単に導くことができます。つまり、2倍角も半角も、加法定理の特殊な場合だと理解することができます。


■ 解答解説

 では、コサインの2倍角の公式を用いて、サインの半角の公式を導いてみましょう!

cos2α=(cosα)^2−(sinα)^2
     =1−(sinα)^2−(sinα)^2 ←(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
     =1−2(sinα)^2

ここで、α=α/2と置き換えると、

cos2(α/2)=1−2{sin(α/2)}
    cosα=1−2{sin(α/2)}^2←2・(α/2)=α

移項して、

2{sin(α/2)}^2=1−cosα

さらに両辺を2で割ると

{sin(α/2)}^2=(1−cosα)/2


この問題は次の問題集のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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