■ 問題
サインの半角の公式を、三角関数の２倍角の公式を使って導け。
このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① サインの公式なんだから、サインの２倍角を使うに決まってる
② サインだろうがコサインだろうが、コサインの２倍角から導く
③ 半角の公式の場合は、タンジェントの２倍角を使うとよい
④ 半角の公式は導けない。いやむしろ、導かない
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ＡＥ個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
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■ 選択肢の解答
② サインだろうがコサインだろうが、コサインの２倍角から導く
半角の公式は、コサインの２倍角の公式から導くことができます。
「ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α」ですね。この式と三角比の相互関係の公式を組み合わせて変形すれば、半角の公式が導けるのです。
そして先ほど38ページで見てみたように、２倍角の公式は、加法定理の公式から簡単に導くことができます。つまり、２倍角も半角も、加法定理の特殊な場合だと理解することができます。
■ 解答解説
では、コサインの２倍角の公式を用いて、サインの半角の公式を導いてみましょう！
ｃｏｓ２α＝(ｃｏｓα)^2－(ｓｉｎα)^2
＝１－(ｓｉｎα)^2－(ｓｉｎα)^2 ←(ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１
＝１－２(ｓｉｎα)^2
ここで、α＝α／２と置き換えると、
ｃｏｓ２(α／２)＝１－２{ｓｉｎ(α／２)}
ｃｏｓα＝１－２{ｓｉｎ(α／２)}^2←２・(α／２)＝α
移項して、
２{ｓｉｎ(α／２)}^2＝１－ｃｏｓα
さらに両辺を２で割ると
{ｓｉｎ(α／２)}^2＝(１－ｃｏｓα)／２
この問題は次の問題集のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
◆関連問題
２√３(ｃｏｓｘ)^2－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝√３
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