★２倍角の公式(double-angle formula)
三角関数において、角度を２倍したときの値を表す公式を通常「２倍角の公式」という。
●サインの２倍角
２倍角の公式は、加法定理の公式の角度の部分を２αに変えただけです。
例えば、サインの加法定理ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβの(α＋β)を２αすなわち(α＋α)に変えると、
ｓｉｎ(α＋α)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα
よって、
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα
が得られます。
●コサインの２倍角
コサインについても同様にやってみると、
ｃｏｓ(α＋β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβの(α＋β)を２αに変えれば、
ｃｏｓ２α＝ｃｏｓαｃｏｓα－ｓｉｎαｓｉｎα
＝(ｃｏｓα)^2－(ｓｉｎα)^2
コサインの場合は、ここからさらに変形することができます。
三角関数の相互関係より(ｓｉｎα)^2＋(ｃｏｓα)^2＝１から、(ｓｉｎα)^2＝１－(ｃｏｓα)^2とすれば、
ｃｏｓ２α＝(ｃｏｓα)^2－{１－(ｃｏｓα)^2}
＝２(ｃｏｓα)^2－１
(ｃｏｓα)^2＝１－(ｓｉｎα)^2で置き換えれば、
ｃｏｓ２α＝{１－(ｓｉｎα)^2}－(ｓｉｎα)^2
＝１－２(ｓｉｎα)^2
このように、コサインの２倍角は３パターンの表し方が可能です。必要に応じて変形して使い分けることができるようにしておきましょう！
●タンジェントの２倍角
タンジェントについても同様に２倍角の公式を導くことができます。
タンジェントの加法定理ｔａｎ(α＋β)＝(ｔａｎα＋ｔａｎβ)／(１－ｔａｎαｔａｎβ)の(α＋β)を２αに置き換えると、
ｔａｎ２α＝(ｔａｎα＋ｔａｎα)／(１－ｔａｎαｔａｎα)
＝２ｔａｎα／{１－(ｔａｎα)^2}
このようにして２倍角の公式は加法定理から全て導くことができます。
◆ 関連項目
加法定理、相互関係、半角の公式
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
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