2020年11月15日

高校数学(用語)「2倍角の公式」

高校数学(用語)「2倍角の公式」

★2倍角の公式(double-angle formula)

三角関数において、角度を2倍したときの値を表す公式を通常「2倍角の公式」という。


●サインの2倍角

2倍角の公式は、加法定理の公式の角度の部分を2αに変えただけです。

例えば、サインの加法定理sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβの(α+β)を2αすなわち(α+α)に変えると、

sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα

よって、

sin2α=2sinαcosα

が得られます。


●コサインの2倍角

コサインについても同様にやってみると、

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβの(α+β)を2αに変えれば、

cos2α=cosαcosα−sinαsinα
    =(cosα)^2−(sinα)^2

コサインの場合は、ここからさらに変形することができます。
三角関数の相互関係より(sinα)^2+(cosα)^2=1から、(sinα)^2=1−(cosα)^2とすれば、

cos2α=(cosα)^2−{1−(cosα)^2}
    =2(cosα)^2−1

(cosα)^2=1−(sinα)^2で置き換えれば、

cos2α={1−(sinα)^2}−(sinα)^2
    =1−2(sinα)^2

このように、コサインの2倍角は3パターンの表し方が可能です。必要に応じて変形して使い分けることができるようにしておきましょう!


●タンジェントの2倍角

タンジェントについても同様に2倍角の公式を導くことができます。

タンジェントの加法定理tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)の(α+β)を2αに置き換えると、

tan2α=(tanα+tanα)/(1−tanαtanα)
    =2tanα/{1−(tanα)^2}


このようにして2倍角の公式は加法定理から全て導くことができます。


◆ 関連項目
加法定理相互関係半角の公式


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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