高校数学(用語)「半角の公式」

高校数学(用語)「半角の公式」

★半角の公式(half-angle formula)

三角関数において、角度を半分にしたときの値を表す公式を通常「半角の公式」という。
半角の公式は全てコサインの２倍角の公式から導くことができる。


コサインの２倍角の公式より、

ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−(ｓｉｎθ)^2

この式に相互関係を用いて、右辺からサインを消せばコサインだけが残りコサインの半角の公式に、コサインを消せばサインだけが残りサインの半角の公式になります。


●サインの半角

ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−(ｓｉｎθ)^2に、相互関係(ｃｏｓθ)^2＝１−(ｓｉｎθ)^2を代入すると、

ｃｏｓ２θ＝１−(ｓｉｎθ)^2−(ｓｉｎθ)^2
ｃｏｓ２θ＝１−２(ｓｉｎθ)^2

ここでθ＝θ／２とすると、

ｃｏｓ(２・θ／２)＝１−２{ｓｉｎ(θ／２)}^2
　　　　ｃｏｓθ＝１−２{ｓｉｎ(θ／２)}^2

移項して、

２{ｓｉｎ(θ／２)}^2＝１−ｃｏｓθ
　{ｓｉｎ(θ／２)}^2＝(１−ｃｏｓθ)／２

さらに両辺の平方根をとって、

ｓｉｎ(θ／２)＝√{(１−ｃｏｓθ)／２}
　　　　　　＝√{２(１−ｃｏｓθ)}／２

ここまで変形することもできます。


●コサインの半角

コサインの場合は、ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−(ｓｉｎθ)^2のサインを消します。
相互関係より、(ｓｉｎθ)^2＝１−(ｃｏｓθ)^2
これを代入すると、

ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−{１−(ｃｏｓθ)^2}
　　　　＝２(ｃｏｓθ)^2−１

あとはサインのときと同様に移項してθ＝θ／２とすれば、

{ｃｏｓ(θ／２)}＝(１＋ｃｏｓθ)／２


●タンジェントの半角

タンジェントは、相互関係ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθを用います。
この最も基本的な式に、サインとコサインの半角を当てはめます。

(ｔａｎθ)^2＝(ｓｉｎθ)^2／(ｃｏｓθ)^2だから、θ＝θ／２とすれば、

{ｔａｎ(θ／２)}^2＝{ｓｉｎ(θ／２)}^2／{ｃｏｓ(θ／２)}^2
　　　　　　　　＝(１−ｃｏｓθ)／{１＋ｃｏｓθ}


このようにして半角の公式はコサインの２倍角から全て導くことができます。


◆　関連項目
加法定理、２倍角の公式、相互関係


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


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