2020年11月17日

高校数学(用語)「半角の公式」

高校数学(用語)「半角の公式」

★半角の公式(half-angle formula)

三角関数において、角度を半分にしたときの値を表す公式を通常「半角の公式」という。
半角の公式は全てコサインの2倍角の公式から導くことができる。


コサインの2倍角の公式より、

cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2

この式に相互関係を用いて、右辺からサインを消せばコサインだけが残りコサインの半角の公式に、コサインを消せばサインだけが残りサインの半角の公式になります。


●サインの半角

cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2に、相互関係(cosθ)^2=1−(sinθ)^2を代入すると、

cos2θ=1−(sinθ)^2−(sinθ)^2
cos2θ=1−2(sinθ)^2

ここでθ=θ/2とすると、

cos(2・θ/2)=1−2{sin(θ/2)}^2
    cosθ=1−2{sin(θ/2)}^2

移項して、

2{sin(θ/2)}^2=1−cosθ
 {sin(θ/2)}^2=(1−cosθ)/2

さらに両辺の平方根をとって、

sin(θ/2)=√{(1−cosθ)/2}
      =√{2(1−cosθ)}/2

ここまで変形することもできます。


●コサインの半角

コサインの場合は、cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2のサインを消します。
相互関係より、(sinθ)^2=1−(cosθ)^2
これを代入すると、

cos2θ=(cosθ)^2−{1−(cosθ)^2}
    =2(cosθ)^2−1

あとはサインのときと同様に移項してθ=θ/2とすれば、

{cos(θ/2)}=(1+cosθ)/2


●タンジェントの半角

タンジェントは、相互関係tanθ=sinθ/cosθを用います。
この最も基本的な式に、サインとコサインの半角を当てはめます。

(tanθ)^2=(sinθ)^2/(cosθ)^2だから、θ=θ/2とすれば、

{tan(θ/2)}^2={sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2
        =(1−cosθ)/{1+cosθ}


このようにして半角の公式はコサインの2倍角から全て導くことができます。


◆ 関連項目
加法定理2倍角の公式相互関係


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ラベル:数学
posted by えま at 08:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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